Позиційні системи числення

Кількість (\ (р \)) різних символів, які використовуються для зображення числа в позиційній системі числення, називається підставою системи числення.

Підстава показує, у скільки разів змінюється кількісне значення цифри при переміщенні її в молодший або старший розряд.

Набір символів, використовуваний для позначення цифр, називається алфавітом.

Так, наприклад, алфавіт двійкової системи числення містить всього два символи: \ (0 \) і \ (1 \), а алфавіт шестнадцатеричной системи - \ (16 \) символів: десять арабських цифр і шість латинських букв (\ (0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F \)).

Будь-яке число \ (N \) в позиційній системі числення можна представити в наступному вигляді:

N p = PlusMinus; (A k - 1 ⋅ p k - 1 + a k - 2 ⋅ p k - 2 +. + a 0 ⋅ p 0 + a - 1 ⋅ p - 1 +. + a - m ⋅ p - m)

Такий вид запису числа називають розгорнутою формою запису числа,

де \ (р \) - основа системи числення;

a i - цифри, що належать алфавітом даної системи числення;

\ (K \) - кількість розрядів в цілій частині числа;

\ (M \) - кількість розрядів у дробовій частині числа.

Нижні індекси визначають місце розташування цифри в числі (розряд):

- позитивні значення індексів - для цілої частини числа;

- негативні значення індексів - для дробової частини числа.

Згорнутої форма запису числа називається запис у вигляді:

N = (a k - 1 a k - 2. a 1 a 0. a - 1 a - 2. a - m) p

- при \ (р = 10 \) в запису числа \ (2466,67510 \) в десятковій системі числення \ (k = 3 \), \ (m = 3 \);

- при \ (р = 2 \) в запису числа \ (1011,112 \) в двійковій системі \ (k = 3 \), \ (m = 2 \).

Згорнутої формою записи чисел ми і користуємося в повсякденному житті, її називають природною або цифровий.

Підставою позиційної системи числення може бути будь-яке натуральне число (наприклад, \ (5 \), \ (21 \), \ (37 \)). Щоб уникнути плутанини праворуч від числа нижнім індексом приписують заснування: 101101 2. 367 8. 3 B8A 16. 3 AO 37.

Десяткова система числення

Підстава: \ (p = 10 \).
Алфавіт: \ (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \).

Десяткова система числення найбільш поширена система числення в світі. Використовується при повсякденному рахунку. Для запису чисел використовуються арабські цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Число в десятковій системі числення записується у вигляді суми числового ряду ступенів підстави (в даному випадку \ (10 ​​\)), в якості коефіцієнтів яких виступають цифри даного числа.

765. 345 10 = 7 ⋅ 10 2 + 6 ⋅ 10 1 + 5 ⋅ 10 0 + 3 ⋅ 10 - 1 + 4 ⋅ 10 - 2 + 5 ⋅ 10 - 3

Двійкова система числення

Двійкову систему числення широко застосовують в обчислювальній техніці. До її достоїнств відносяться:

- можливість використання найбільш простий елементної бази мікроелектроніки - всього з двома стійкими станами;

- можливість використання апарату булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;

- можливість використання найпростіших правил арифметики.

Основний недолік двійковій системи - швидке зростання кількості розрядів, необхідних для запису чисел. З цієї, а також з деяких інших причин в обчислювальній техніці, крім двійковій, застосовуються також восьмерична і шістнадцяткова системи числення.

Число в двійковій системі числення записується у вигляді суми числового ряду ступенів підстави (в даному випадку \ (2 \)), в якості коефіцієнтів яких виступають цифри даного числа.

1011. 01 2 = 1 ⋅ 2 3 +0 ⋅ 2 + 2 + 1 ⋅ 2 +1 1 ⋅ 2 0 + 0 ⋅ 2 - 1 + 1 ⋅ 2 - 2

Вісімкова система числення

Підстава: \ (p = 8 \).
Алфавіт: \ (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \).

Вісімкова система найчастіше використовується в областях, пов'язаних з цифровими пристроями. Характеризується легким перекладом вісімкових чисел в двійкові і назад, шляхом заміни вісімкових чисел на тріади (групи по 3 розряду) довічних. Раніше широко використовувалася в програмуванні і взагалі комп'ютерної документації, проте в даний час майже повністю витіснена шестнадцатеричной.

Число в вісімковій системі числення записується у вигляді суми числового ряду ступенів підстави (в даному випадку \ (8 \)), в якості коефіцієнтів яких виступають цифри даного числа.

567. 12 8 = 5 ⋅ 8 2 +6 ⋅ 8 1 +7 ⋅ 8 0 + 1 ⋅ 8 - 1 + 2 ⋅ 8 - 2

Шістнадцяткова система числення

Підстава: \ (p = 16 \).
Алфавіт: \ (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F \).

Тут тільки десять цифр з шістнадцяти мають загальноприйняте позначення \ (0, 1. 9 \). Для запису інших цифр (\ (10, 11, 12, 13, 14 \) і \ (15 \)) зазвичай використовуються перші шість букв латинського алфавіту.

Шістнадцяткова система числення, на сьогоднішній день є найбільш популярним засобом компактного запису двійкових чисел. Дуже широко використовується при розробці і проектуванні цифрової техніки.

Число в шістнадцятковій системі числення записується у вигляді суми числового ряду ступенів підстави (в даному випадку \ (16 \)), в якості коефіцієнтів яких виступають цифри даного числа.

10 FC 16 = 1 ⋅ 16 3 +0 ⋅ 16 2 + F ⋅ 16 -1 + C ⋅ 16 0

Крім розглянутих вище позиційних систем числення, існують і інші, наприклад:
- троичная (\ (0, 1, 2 \));

- п'ятіркова (\ (0, 1, 2, 3, 4 \))

- дванадцяткова (\ (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B \))

- трінадцатерічная (\ (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \)).