Послідовність - математична енциклопедія - енциклопедії & словники

елементів заданої множини - функція, визначена на множині натуральних чисел, безліч значень к-рій міститься в розглянутому множині.

Елементом, або членом, послідовності. де N - безліч натуральних чисел, X - заданий безліч, наз. впорядкована пара

. к-раю позначається через х n. Натуральне число n зв. номером елемента послідовності х п, а елемент - його значенням. Послідовність зазвичай позначається через п> або х п. П = 1, 2.

Безліч елементів П. завжди лічильно, причому два різних члена П. відрізняються принаймні номерами. Безліч значень елементів П. може бути і кінцевим; так, безліч значень будь-якої стаціонарної П. т. е. послідовності xn>, всі елементи до-рій мають одне і те ж значення: х п = а, n = 1, 2. складається з одного елемента.

якщо n1 наз. попереднім члену х п2, а член х п2 - наступним за членом xn1. Таким чином, безліч елементів П. впорядковано.

Того чи іншого роду П. зустрічаються в різних розділах математики і з їх допомогою описуються багато властивостей досліджуваних об'єктів. Напр. якщо X - топологіч. простір, то серед П. його точок важливу роль відіграють сходяться П. т. е. П. к-які мають межу в цих просторах. У термінах сходяться П. зручно (у всякому разі, при наявності лічильної бази) описувати властивість компактності, існування межі відображення, його безперервність і т. П. Якщо всі елементи П. деяких об'єктів (точок, множин, відображень і т. Д .) мають будь-якого властивістю, то часто буває потрібним з'ясувати, чи зберігається ця властивість для межі П .; напр. з'ясувати, як поводяться властивості вимірності, безперервності, дифференцируемости, інтегрованості при граничному переході для різних видів збіжності функцій (поточечной, майже всюди, рівномірної, в міру, в середньому і т. п.).

Іноді відображення кінцевого безлічі натуральних чисел в безліч Xназ. кінцевої П. і позначається через <х 1. х 2. . х п>, де xn = f (k), k = 1, 2. п. П. може здаватися формулою її загального члена (напр. П. членів арифметич. прогресії), рекуррентной формулою (напр. П. чисел Бернуллі) або просто словесним описом з тим або іншим ступенем ефективності (напр. П. всіх простих натуральних чисел в порядку їх зростання). Див. Також Подвійна послідовність, Кратна послідовність. Узагальненням поняття П. є спрямованість. Л. Д. Кудрявцев.

Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія І. М. Виноградов 1977-1985

Див. Також `Последовательность` в інших словниках