Портал ТОЕ - лекції - теоретичні основи електротехніки
Аналіз перехідного процесу в лінійній ланцюга з зосередженими параметрами R. L. C (рис. 6.2) зводиться до вирішення лінійних неоднорідних рівнянь, що виражають закони Кірхгофа.
де i (t) - перехідний струм.
Дифференцированием наводимо це рівняння до неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку:
Порядок диференціального рівняння визначається числом накопичувачів енергії в ланцюзі.
Рішення диференціального рівняння:
де i ін (t) - приватне рішення неоднорідного рівняння, примушена складова, ток в сталому режимі, коли перехідний процес закінчений (при t = ∞);
i св (t) - спільне рішення однорідного рівняння, вільна складова, ток під час перехідного процесу, що виникає внаслідок зміни електричних і магнітних полів.
Таким чином тут використовується метод накладення. Фізично існує тільки i (t). а розкладання його на i пр і i св є математичним прийомом, що полегшує розрахунок перехідного процесу.
Розрахунок змушений складової зводиться до розрахунку по відомим методам сталого значення шуканої величини в схемі після комутації.
Для розрахунку вільної складової слід знайти корені характеристичного рівняння p k і n постійних інтегрування A k.
Якщо характеристичне рівняння
має n різних коренів p k (k = 1. 2. ..., n). то
Корню p k кратності m k ≥ 1 відповідає доданок вільної складової виду
Щоб визначити постійні інтегрування A k. необхідно знати значення шуканої величини і всіх її похідних до (n - 1) порядку включно в момент часу t = 0 +. Для їх визначення використовуються закони комутації.
Складання характеристичного рівняння
- Складаємо рівняння електричного стану ланцюга для вільного режиму (тобто при усуненні вимушеної (принуждающей) сили). Це відповідає схемі з виключеними джерелами - джерела ЕРС закорочуються, гілки з джерелами струму розмикаються.
Наприклад для рис. 6.3.
де Z вх (p) - вхідний опір схеми щодо двох затискачів, які утворюються в результаті розмикання будь-якої гілки схеми;
Y вх (p) - вхідна провідність схеми щодо довільної пари вузлів схеми.
Коріння характеристичного рівняння - власні частоти ланцюга, тому що вони визначають характер вільних процесів.
Ступінь характеристичного рівняння може бути визначена по електричній схемі без складання рівняння: вона дорівнює числу основних незалежних початкових умов в послекоммутаціонной схемою після максимального її спрощення і не залежить від числа ЕРС в схемі.
Спрощення полягає в тому, що послідовно і паралельно з'єднані реактивні елементи повинні бути замінені еквівалентними.
Розглянемо схему на рис. 6.4. Три реактивних елемента в спрощеною схемою визначають три незалежних початкових умови, тобто порядок характеристичного рівняння дорівнює трьом.
Вільний процес відбувається в ланцюзі, звільненої від джерел енергії, тому вільні струми не можуть протікати як завгодно довго в ланцюзі, де є активні елементи. Вільні струми повинні затухати, в зв'язку з цим дійсні частини коренів p k характеристичного рівняння повинні бути негативними.- Так, при наявності одного кореня p = - a
a залежить тільки від параметрів ланцюга;