Поняття рівняння лінії

§ 9. Поняття рівняння лінії.

Завдання лінії за допомогою рівняння

Рівність виду F (x, y) = 0 називається рівнянням з двома змінними x, у, якщо воно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Кажуть, що два числа x = x0. у = у0, задовольняють деякому рівнянню виду F (х, у) = 0, якщо при підстановці цих чисел замість змінних х і у в рівняння його ліва частина звертається в нуль.

Рівнянням даної лінії (в призначеної системі координат) називається таке рівняння з двома змінними, якому задовольняють координати кожної точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати кожної точки, що не лежить на ній.

Надалі замість виразу «дано рівняння лінії F (х, у) = 0» ми часто будемо говорити коротше: дана лінія F (х, у) = 0.

Якщо дані рівняння двох ліній F (х, у) = 0 і Ф (х, y) = Q, то совме-стное рішення системи

дає всі точки їх перетину. Точніше, кожна пара чисел, що є сов-місцевим рішенням цієї системи, визначає одну з точок перетину.

*) У тих випадках, коли система координат не названа, мається на увазі, що вона - декартова прямокутна.
157. Дано точки *) M1 (2; - 2), M2 (2; 2), M3 (2; - 1), M4 (3; -3), M5 (5; -5), M6 (3; - 2). Встановити, які виданих точок лежать на лінії, визначеної рівнянням х + у = 0, і які не лежать в ній. Яка лінія визначена даними рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)

158. На лінії, визначеної рівнянням х 2 + y 2 = 25, знайти точки, абсциси яких дорівнюють наступним числах: а) 0, б) - 3, в) 5, г) 7; на цій же лінії знайти точки, ординати яких дорівнюють наступним числах: д) 3, е) - 5, ж) - 8. Яка лінія визначена даними рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)

159. Встановити, які лінії визначаються наступними уравне-нями (побудувати їх на кресленні):

1) х - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x - 2 = 0; 4) x + 3 = 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8 xy +15 = 0; 15) y 2 + 5y + 4 = 0;

31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Дано лінії:

Визначити, які з них проходять через початок координат.

Знайти точки їх перетину: а) з віссю Ох; б) з віссю Оу.

162. Знайти точки перетину двох ліній;

163. В полярній системі координат дано точки

Встановити, які з цих точок лежать на лінії, визначеної рівнянням в полярних координатах  = 2 cos , і які не лежать в ній. Яка лінія визначається даними рівнянням? (Зобразити її на кресленні :)

164. На лінії, визначеної рівнянням  =, знайти точки, полярні кути яких рівні наступним числах: а), б) -, в) 0, г). Яка лінія визначена даними рівнянням?

(Побудувати її на кресленні.)

165. На лінії, визначеної рівнянням  =, знайти точки, полярні радіуси яких дорівнюють наступним числах: а) 1, б) 2, в). Яка лінія визначена даними рівнянням? (Побудувати її на кресленні.)

166. Встановити, які лінії визначаються в полярних координує ДИНАТ наступними рівняннями (побудувати їх на кресленні):

1)  = 5; 2)  =; 3)  =; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167. Побудувати на кресленні такі спіралі Архімеда:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  =; 4) р = -1.

168. Побудувати на кресленні такі гіперболічні спіралі:

169. Побудувати на кресленні такі логарифмічні спіралі:

170. Визначити довжини відрізків, на які розсікає спіральАрхімеда

промінь, що виходить з полюса і нахилений до полярної осі під кутом. Зробити креслення.

171. На спіралі Архімеда взята точка С, полярний радіус якої дорівнює 47. Визначити, на скільки частин ця спіраль розсікає полярний радіус точки С, Зробити креслення.

172. На гіперболічної спіралі знайти точку Р, полярний радіус якої дорівнює 12. Зробити креслення.

173. На логарифмічною спіралі знайти точку Q, полярний радіус якої дорівнює 81. Зробити креслення.