Поняття інтегрального рівняння

Інтегральними зазвичай називають рівняння, що містять невідому функцію під знаком інтеграла. Це визначення не дуже вдало. Під загальною назвою «інтегральні рівняння» відомі речі, мало схожі одна на іншу. Зазвичай не намагаються дати загального визначення інтегральних рівнянь, а обмежуються тим, що перераховують найбільш важливі класи інтегральних рівнянь.

Одним з найбільш важливих і добре досліджених класів лінійних інтегральних рівнянь є рівняння Фредгольма II роду. Так називають рівняння виду:

(На відміну від рівнянь виду

. яке називається рівнянням I роду і не має великого практичного значення).

Якщо f (x) = 0, то інтегральне рівняння називається однорідним; в іншому випадку - неоднорідним.

Функцію двох дійсних змінних називають ядром рівняння; параметр # 955; - комплексно значною. Ядро визначено в квадраті: a≤x, # 958; ≤b.

Про ядрі рівняння (1) припускають, що

Вільний член f (x) рівняння (1) задовольняє нерівності

Аналогічне нерівність передбачається виконаним для невідомої функції # 966; (x).

У разі (3) функцію f (x) називають сумовною в (a, b). Ядро інтегрального рівняння передбачається квадратично сумовною в квадраті a≤x, # 958; ≤b.

Фредгольма був вивчений випадок, коли # 966; (x), f (x) - неперервні на [a, b], а

- безперервно в основному квадраті a≤x, # 958; ≤b. Очевидно, в цьому випадку справедливо (3).

Інтегральне рівняння виду (1) називається інтегральним рівнянням зі слабкою особливістю, якщо ядро ​​рівняння

,

де - безперервна функція при a≤x, # 958; ≤b. У цьому випадку рівняння називають також особливим або сингулярним.

Взагалі, інтегральне рівняння називають особливим, якщо або а, або b нескінченні; або ядро ​​звертається в нескінченність в одній або декількох точках розглянутого інтервалу.

Окремим випадком рівняння (1) є рівняння виду:

Це рівняння називається рівнянням Вольтерра II роду.

називається рівнянням Вольтерра I роду (їх ми розглядати не будемо).

Властивості інтегрального рівняння, його рішень визначається властивостями його ядра.

Для цього ядра розглядаються:

1) транспонувати ядро ​​(5)

2) поєднане ядро ​​(6)

Якщо приймає лише дійсних значень, то.

Дане ядро ​​називають:

ермітовим, якщо має,

нормованих, якщо має місце (2) і інтеграл ≠ 0,

безперервним в середньому, якщо

,

виродженим (або розділяти), якщо

.

Лінійним інтегральним оператором називається перетворення (відображення)

Рівняння (1) можна записати: (7)

Інтегральне рівняння Вольтерра II роду зводиться до рівняння Фредгольма на (0, ∞), якщо ввести нове ядро

Рішенням інтегрального рівняння називається функція # 966; (x), яка при підстановці в рівняння звертає їх у тотожність відносно.

Приклад. Перевірити, чи є рішенням інтегрального рівняння

,

Інтегруємо частинами:

Відповідь: Функція є рішенням інтегрального рівняння.

Завдання для самостійної роботи:

1.Показать, що дані функції є розв'язками відповідних інтегральних рівнянь.