Полярне рівняння кривої другого порядку

Користуючись загальною властивістю еліпсів, гіпербол і парабол, виведемо загальне рівняння цих кривих другого порядку в полярних координатах при деякому спеціальному виборі полярної системи координат.

Нехай дана довільна із зазначених ліній (еліпс, гілка гіперболи або парабола). Візьмемо фокус F кривої (будь-який, якщо їх два) і відповідну йому директрису L (а якщо йдеться про гілка гіперболи, то береться фокус і директриса, найближчі до цієї гілки).

Введемо полярну систему координат так, щоб полюс Про збігся з фокусом F, а полярна вісь була спрямована по осі симетрії кривої в сторону, протилежну директрисі L.

Візьмемо на кривій довільну точку М (r; j), з'єднаємо її відрізком FM з фокусом і опустимо перпендикуляр МК на директрису. Крім того, з точки F проведемо перпендикуляр FR до полярної осі до перетину з кривою у точці R, а з точки R опустимо перпендикуляр RQ на директрису (Рис. 12).

Позначимо FR через p і будемо називати це число фокальним параметром. На підставі загального властивості кривих другого порядку З тих же міркувань: або. звідки.

Підставами знайдені вирази для FM і КМ в рівність. отримаємо:

Рівняння (3) називається рівнянням кривої другого порядку в полярних координатах. при e<1 кривая является эллипсом, при e>1 - гілкою гіпіерболи, при e = 1 - параболою.

Фокальний параметр Р з рівняння параболи визначається безпосередньо. Для того, щоб фокальний параметр висловити через параметри еліпса і гіперболи, слід зауважити, що фокальний параметр Р є ординатою точки кривої, абсциса якої дорівнює абсциссе відповідного фокуса (в обраній при виведенні канонічного рівняння відповідної кривої системі ХОY).

Підставляючи замість координат точки М (х; у) в рівняння еліпса координати точки (-с; р), отримаємо:

Аналогічно, підставляючи в рівняння гіперболи координати точки (с; р), отримаємо:

звідки слід співвідношення

Розглянемо кілька завдань на криві другого порядку.

Дано рівняння гіперболи 16х 2 -9у 2 = 144. Знайти довжини її осей, координати фокусів, ексцентриситет; скласти рівняння директрис і асимптот гіперболи.

Наведемо рівняння гіперболи до канонічного вигляду і визначимо як параметри гіперболи, так і відстань з від початку координат до фокусу:

звідки а = 3, b = 4,. ексцентриситет e =.

Дійсна вісь 2а = 6; уявна вісь 2b = 8.

Скласти рівняння еліпса, симетричного відносно координатних осей, знаючи, що він проходить через точки М1 (2; 3) і М2.

З огляду на симетричність еліпса щодо осей координат, його канонічне рівняння матиме вигляд: і замість поточних координат підставимо в це рівняння спочатку координати точки М1. а потім координати точки М2. З отриманої системи рівнянь:

визначимо параметри еліпса а й b.

отримаємо наступну систему рівнянь:

Вирішуючи її, отримаємо, що:

звідки а 2 = 16, b 2 = 12.

Отже, шукане рівняння еліпса буде:

Знайти вершину, фокус, вісь і директрису параболи

Перетворимо дане рівняння наступним чином:

Позначивши х` = х-4 і у` = у-3, перейдемо до нової системи координат O`x`y`, початок якої знаходиться в точці O` (4, 3), а осі O`x` і O`y `сонаправлени з осями Ох і Оу. В результаті отримаємо просте рівняння даної параболи

Звідси. тобто . Отже, вершина параболи знаходиться в точці O` (4, 3); координати фокуса

тобто F; рівняння осі параболи x = xO` = 4, тобто х-4 = 0; рівняння директриси. тобто 8y-25 = 0.

Рівняння еліпса привести в полярній системі координат до рівняння виду

Знайдемо з даного рівняння параметри a, b, c, потім знайдемо ексцентриситет і фокальний параметр еліпса:

а 2 = 4, b 2 = 3, c 2 = 1,. .

Шукане рівняння матиме вигляд:

Дано рівняння кривої в полярних координатах

Привести його до канонічного рівняння в прямокутних координатах.

В даному рівнянні. . Так як ексцентриситет e> 1, то дане рівняння є рівнянням гіперболи, у якій b 2 = c 2 -a 2. Таким чином, дані параметри можуть бути записані у вигляді системи двох рівнянь

З цієї системи знаходимо, що а = 1, с = 3, b 2 = 8. Отже, рівняння гіперболи має вигляд:

Тема 3. Речові і комплексні числа.