Поле, визначення, найпростіші властивості - студопедія

У будь-якому кільці виконується операція вирахування - зворотна операції додавання:

Про виконання операції ділення - зворотної операції множення, у визначенні кільця ані слова нічого. Можна показати, що по відношенню до операції ділення різні кільця мають різні властивості. Наприклад, в кільці парних чисел розподіл одного числа на інше виконується тільки у виняткових випадках; в цьому кільці немає жодного елемента, на який ділилися б всі його елементи.

У кільці цілих чисел розподіл одного числа на інше виконується також у виняткових випадках, але все елементи цього кільця діляться на 1 і -1. У кільці раціональних чисел операція ділення виконується завжди, крім поділу на нуль.

Зауваження. Розподіл на нуль неможливо ні в якому кільці: розділити елемент на 0 - це означає знайти в кільці такий елемент, що, але при це неможливо, так як для будь-якого елемента в кільці:.

У вищій алгебрі зокрема і в математиці в цілому особливу роль грають комутативність кільця. в яких виконується операція ділення, крім ділення на нуль. Їх називають полями.

Дамо кілька визначень поля, що відображають його основні особливості.

Визначення 1. Комутативне кільце називається полем і позначається, якщо в ньому міститься, принаймні один, елемент, відмінний від нуля, і якщо в ньому виконується операція ділення, крім ділення на нуль, тобто для будь-яких його елементів і, з яких, в ньому міститься, і до того ж тільки один, такий елемент, що:

Елемент називається приватним елементів і і записується у вигляді дробу.

Визначення 2. Полем називається коммутативное кільце, у якого ненульові елементи утворюють групу щодо операції множення:

- мультиплікативна група поля.

Визначення 3. Поле - це коммутативное кільце з одиницею не дорівнює нулю, в якому кожен відмінний від нуля елемент звернемо:

Як випливає з визначень, поле являє собою гібрид двох груп - адитивної абельовой групи і мультиплікативної, пов'язаних законом дистрибутивности (тепер уже одним, з огляду на коммутативности).

Зауваження. Вимоги, що входять до визначення поля називаються аксіомами поля.

Визначення. Поля елементами яких є числа, називаються числовими полями.

1. Кільце раціональних чисел є полем.

2. Кільце дійсних чисел також є полем.

3. Кільце чисел виду, де, є полем.

4. Кільце комплексних чисел є полем.

Всі розглянуті приклади є числовими полями. Приклади нечислових полів будуть розглянуті нижче.