Показники асиметрії і ексцесу

Коефіцієнт асиметрії показує «скошенность» ряду розподілу щодо центру:

де - центральний момент третього порядку;

- куб середнього квадратичного відхилення.

Для даного методу розрахунку: якщо. в розподілі спостерігається правобічна (позитивна асиметрія), якщо. в розподілі спостерігається лівостороння (негативна асиметрія)

Крім центрального моменту розрахунок асиметрія можна провести, використовуючи моду або медіану:

Для даного методу розрахунку: якщо. в розподілі спостерігається правобічна (позитивна асиметрія), якщо. в розподілі спостерігається лівостороння (негативна асиметрія) (рис. 4).

Мал. 4. Асиметричні розподілу

Величина, що показує «крутість» розподілу, називається коефіцієнтом ексцесу:

Якщо. в розподілі спостерігається гостровершинності - ексцес позитивний, якщо. в розподілі спостерігається плосковершінних - ексцес негативний (рис. 5).

Мал. 5. Ексцеси розподілу

Приклад 5. Є дані про кількість овець по господарствах району (табл. 9).

5. Показники асиметрії і ексцесу.

1. Так як значення варіанти в сукупності повторюється по кілька разів, з певною частотою для розрахунку середнього значення використовуємо формулу середню арифметичну зважену:

2. Даний ряд є дискретним, тому модою буде варіанта з найбільшою частотою -.

3. Даний ряд є парним, в цьому випадку медіану для дискретного ряду знаходять за формулою:

Тобто, половина господарств в досліджуваній сукупності мають кількість овець до 4,75тис.голов. а половина понад даної чисельності.

4. Для розрахунку показників варіації складемо таблицю 10, в якій розрахуємо відхилення. квадрати даних відхилень. розрахунок можна провести як за простими, так і по зваженим формулами розрахунку (в прикладі використовуємо просту):

Тобто, спостерігається лівостороння асиметрія, так як. що підтверджується і при розрахунку за формулою:

В цьому випадку . що для даної формули так же вказує на лівосторонній асиметрію

Ексцес розподілу дорівнює:

У нашому випадку ексцес негативний, тобто спостерігається плосковершінних.

Приклад 6. За господарству представлені дані про заробітну плату працівників (табл. 12)

Розрахувати моду і медіану.

Для інтервального варіаційного ряду мода розраховується за формулою:

де модальний інтервал - інтервал з найбільшою частотою, в нашому випадку 3600-3800, з частотою

- мінімальна межа модального інтервалу (3600);

- величина модального інтервалу (200);

- частота інтервалу попередня модальному інтервалу (25);

- частота наступного за модальним інтервалом (29);

- частота модального інтервалу (68).

Для інтервального варіаційного ряду медіана розраховується за формулою:

де медіанний інтервал це інтервал, кумулятивна (накопичена) частота якого дорівнює або перевищує половину суми частот, в нашому прикладі це 3600-3800.

- мінімальна межа медіанного інтервалу (3600);

- величина медіанного інтервалу (200);

- сума частот ряду (154);

- сума накопичених частот, всіх інтервалів, що передують медіанного (57);

- частота медіанного інтервалу (68).

Приклад 7. По трьох господарствам одного району мають інформацію про фондомісткості продукції (кількість витрат основних фондів на 1грн. Виробленої продукції): I - 1,29 руб. II - 1,32 руб. III - 1,27руб. Необхідно розрахувати середню фондоемкость.

Рішення. Так як фондомісткість зворотний показник обороту капіталу використовуємо формулу середню гармонійну просту.

Приклад 8. По трьох господарствам одного району є дані про валовий збір зернових і середньої врожайності (табл. 13).