Похідна в напрямі

Нехай функція z = f (x; y) визначена в деякому околі точки М (х; у), - деякий напрям, що задається одиничним вектором де бо (або); cos a, cos b - косинуси кутів, утворених вектором е з осями координат і звані напрямними косинусами.

При переміщенні в даному напрямку точки M (x; y) в точку M1 (x + Dx; y + Dy) функція z одержить збільшення D z = f (x + Dx; y +
+ Dy) - f (x; y), зване збільшенням функції в даному напрямку

Якщо то, очевидно, що отже,

Похідною в напрямі функції двох змінних
z = f (x; y) називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при прагненні останньої до нуля, т. е.

Похідна характерізуетскорость зміни функції в напрямку

Формула для похідної функції z = f (x; y) у напрямку має вигляд

Приклад 16. Дана функція z = x 2 + y 2. в точці M (1; 1) напрямок становить з віссю Ox кут Знайти похідну функції за вказаним напрямом в цій точці.

Так як то кут За формулою похідної функції у напрямку отримаємо

У точці M (1; 1) отримуємо:

Градіентомgrad zфункціі z = f (x; y) називається вектор з координатами

Розглянемо скалярний добуток векторів і одиничного вектора

Отже, похідна по напрямку є скалярний твір градієнта grad z і одиничного вектора, що задає напрямок

Градієнт функції grad z в даній точці характеризує напрямок максимальної швидкості зміни функції в цій точці.

Приклад 17. Знайти градієнт функції в точці M (0; 1).

За формулою градієнта

При х = 0 і у = 1 отримуємо

Тест 12. Градієнт функції в точці А (1; 1) дорівнює:

Диференціювання складних і неявних функцій

Випадок однієї незалежної змінної

Припустимо, що z = f (x; y) - функція, що диференціюється двох змінних x і y в деякій області D. а аргументи x і y є диференційованими функціями деякої змінної t. т. е. x = x (t), Тоді - функція однієї змінної t.

Теорема .Імеет місце рівність

Якщо збігається з одним з аргументів, скажімо, t = x. то

і називається повною похідною функції z по x.

Випадок декількох незалежних змінних

Якщо аргументи x і y функції z = f (x; y) є функціями двох змінних, скажімо, x = x (u; v), y = y (u; v), то також є функцією двох змінних і v.

Теорема .Імеют місце формули

Структура цих формул зберігається і при більшій кількості змінних.