Похідна складної функції 1

Розглянемо спочатку поняття складної функції. Нехай функція \ (g \) визначена на безлічі \ (X \) і може приймати значення в безлічі \ (U \). У такому випадку говорять, що функція \ (g \) відображає безліч \ (X \) в \ (U \), а сама функція записується як \ [u = g \ left (x \ right), \; \; \ text \; \; x \ in X, u \ in U. \] Уявімо тепер, що на безлічі \ (U \) задана інша функція \ (f \), яка відображає безліч \ (U \) в \ (Y \) : \ [y = f \ left (u \ right), \; \; \ text \; \; u \ in U, y \ in Y. \] Таке подвійне відображення, при якому область значень першого відображення є підмножиною області визначення другого відображення, називається композицією відображень. а відповідні функції утворюють композицію функцій.

Якщо \ (g: X \ to U \) і \ (f: U \ to Y \), то композиція функцій \ (g \) і \ (f \) позначається як \ [y = \ left (\ right) \ left (x \ right) = f \ left (\ right) = f \ left (u \ right) \] і являє собою "двошарову" складну функцію або функцію від функції.

Якщо \ (f \) і \ (g \) - диференційовані функції, то складна функція \ (y = f \ left (\ right) \) також диференційована по \ (x \) і її похідна дорівнює \ [>> = \ frac> \ left (\ right) \ left (x \ right)> => f \ left (\ right) g '\ left (x \ right)> = >> \ frac >>.> \] Дана формула показує, що похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну від внутрішньої функції. Важливо мати на увазі, що похідна внутрішньої функції обчислюється в точці \ (x \), а похідна зовнішньої функції - в точці \ (u = g \ left (x \ right)! \)

Доведемо наведену формулу.

Візьмемо довільну точку \ (\). Будемо вважати, що функція \ (u = g \ left (x \ right) \) диференційована в точці \ (\), а функція \ (y = f \ left (u \ right) \), відповідно, диференційована в точці \ (= g \ left (> \ right) \). Це означає, що в зазначених точках існують похідні \ (g '\ left (x \ right) \) і \ (f' \ left (u \ right) \), а функції \ (g \ left (x \ right) \ ) і \ (f \ left (u \ right) \) є безперервними в деякій околиці цих точок.

Похідна зовнішньої функції \ (y = f \ left (u \ right) \) в точці \ (\) записується через межу у вигляді \ [f '\ left (> \ right) = \ lim \ limits_ \ frac >>. \ ] Цей вислів можна переписати в такій формі: \ [\ Delta y = f '\ left (> \ right) \ Delta u + \ varepsilon \ left (\ right) \ Delta u, \] де помилка \ (\ varepsilon \ left (\ right) \) залежить від збільшення \ (\ Delta u \) і виконується умова \ [\ lim \ limits_ \ varepsilon \ left (\ right) = \ varepsilon \ left (0 \ right) = 0. \] Розділимо вираз для \ (\ Delta y \) на приріст внутрішньої змінної \ (\ Delta x \ ne 0 \): \ [\ frac >> = f '\ left (> \ right) \ frac >> + \ varepsilon \ left (\ right) \ frac >>. \] Оскільки внутрішня функція \ (u = g \ left (x \ right) \) диференційована в точці \ (\), то \ [\ lim \ limits_ \ frac >> = g '\ left (> \ right). \] Зауважимо також, що \ (\ lim \ limits_ \ Delta u = 0 \) в силу безперервності функції \ (u \ left (x \ right) \) і, отже, \ [\ varepsilon \ left (\ right) = \ varepsilon \ left (\ Delta u> \ right)> = \] в результаті похідна складної функції в точці \ (\) виражається наступною формулою: \ [> \ right) = \ lim \ limits_ \ frac >>> = \ left [> \ right) \ frac >> + \ varepsilon \ left (\ right) \ frac >>> \ right]> => \ right) \ lim \ limits_ \ frac >> + \ lim \ limits_ \ varepsilon \ left (\ right ) \ cdot \ lim \ limits_ \ frac >>> => \ right) g '\ left (> \ right) + 0 \ cdot g' \ left (> \ right)> => \ right) g '\ left ( > \ right)> => \ right)> \ right) g '\ left (> \ right).> \] Дане правило диференціювання легко узагальнюється на випадок композитних функцій, що складаються з трьох і більше функцій. Так, наприклад, похідна "тришарової" складної функції \ (y = f \ left (\ right)> \ right) \) знаходиться за формулою \ [\ right) ^ \ prime> \ left (x \ right)> = \ right )> \ right)> \ right] ^ \ prime >> = \ right)> \ right) \ cdot g '\ left (\ right) \ cdot h' \ left (x \ right).> \] Можна помітити, що похідна складної функції представляється у вигляді послідовного твори похідних складових функцій, причому аргументи функцій узгоджені (зчеплені) таким чином, що значення внутрішньої функції служить аргументом для наступної за нею зовнішньої функції. Тому правило диференціювання складної функції часто називають "ланцюговим правилом" (chain rule).

У прикладах \ (1 \) - \ (50 \) знайти похідні заданих функцій: