Похідна дроби - доказ

Формула похідної дробу з двох функцій. Доказ двома способами. Детально розібрані приклади диференціювання приватного.

Нехай функції і визначені в деякому околі точки і мають в точці похідні. І нехай. Тоді їхня приватна має в точці похідну, яка визначається за формулою:
(1).

Доведення

Введемо позначення:
;
.
Тут і є функціями від змінних і. Але для простоти запису ми будемо опускати позначення їх аргументів.

Далі помічаємо, що
;
.
За умовою функції і мають похідні в точці. які є наступними межами:
;
.
З існування похідних випливає, що функції і безупинні в точці. Тому
;
.

Розглянемо функцію y від змінної x. яка є дробом з функцій і.
.
Розглянемо прирощення цієї функції в точці.
.
Помножимо на.

Тепер знаходимо похідну:

Отже,
.
Формула доведена.

Замість змінної можна використовувати будь-яку іншу змінну. Позначимо її як x. Тоді якщо існують похідні і. причому. то похідна дробу, складеної двох функцій, визначається за формулою:
.
Або в більш короткій записи
(1).

Доказ другим способом

Розглянемо рівняння
.
Тут. і є функції від змінної x.
Помножимо на.
.
Диференціюючи по змінної x. застосовуючи формулу похідної добутку двох функцій:
.
Звідси знаходимо шукану похідну:
;
.

Тут ми розглянемо прості приклади обчислення похідної дробу, застосовуючи формулу похідної приватного (1). Зауважимо, що в більш складних випадках, знаходити похідну дробу простіше за допомогою логарифмічною похідною.

Знайдіть похідну дробу
.
де. - постійні.

Замінимо на і на.
.