похибка наближення

Маючи справу в обчисленнях з нескінченними десятковими дробами, доводиться для зручності виконувати наближення цих чисел, т. Е. Округляти їх. Приблизні числа виходять також при різних вимірах.

Буває корисно дізнатися, як сильно наближене значення числа відрізняється від його точного значення. Зрозуміло, що чим ця різниця менше, тим краще, тим точніше виконано вимір або обчислення.

Для визначення точності вимірювань (обчислень) вводять таке поняття як похибка наближення. По-іншому його називають абсолютною похибкою. Похибка наближення є взяту по модулю різниця між точним значенням числа і його наближеним значенням.

Якщо a - це точне значення числа, а b - його наближене значення, то похибка наближення визначається за формулою | a - b |.

Припустимо, що в результаті вимірів було отримано число 1,5. Однак в результаті обчислення за формулою точне значення цього числа одно 1,552. В такому випадку похибка наближення буде дорівнює | 1,552 - 1,5 | = 0,052.

У випадку з нескінченними дробами похибка наближення визначається за тією ж формулою. На місці точного числа записується сама нескінченна дріб. Наприклад, | π - 3,14 | = | 3,14159. - 3,14 | = 0,00159. Тут виходить, що похибка наближення виражена ірраціональним числом.

Як відомо, наближення може виконуватися як через брак, так і по надлишку. Те ж число π при наближенні через брак з точністю до 0,01 одно 3,14, а при наближенні по надлишку з точністю до 0,01 одно 3,15. Причина, по якій в обчисленнях використовується його наближення через брак, полягає в застосуванні правил округлення. Згідно з цими правилами, якщо перша відкидається цифра дорівнює п'яти або більше п'яти, то виконується наближення по надлишку. Якщо менше п'яти, то через брак. Так як третьої цифрою після коми у числа π є 1, то тому при наближенні з точністю до 0,01 воно виконується через брак.

Дійсно, якщо обчислити похибки наближення до 0,01 числа π через брак і по надлишку, то отримаємо:

| 3,14159. - 3,14 | = 0,00159.
| 3,14159. - 3,15 | = 0,0084.

Так як 0,00159. <0,0084. то приближение по недостатку выполнено точнее, чем по избытку; а значит, оно лучше.

Говорячи про похибки наближення, також як і у випадку з самим наближенням (по надлишку або нестачі), вказують його точність. Так у що наводиться вище прикладі з числом π слід сказати, що воно дорівнює числу 3,14 з точністю до 0,01. Адже модуль різниці між самим числом і його наближеним значенням не перевищує 0,01 (0,00159. ≤ 0,01).

Точно також π одно 3,15 з точністю до 0,01, так як 0,0084. ≤ 0,01. Однак якщо говорити про більшої точності, наприклад до 0,005, то ми можемо сказати, що π одно 3,14 з точністю до 0,005 (так як 0,00159. ≤ 0,005). Сказати ж це по відношенню до наближення 3,15 ми не можемо (так як 0,0084.> 0,005).