подвійні інтеграли

Подвійні інтеграли мають такі ж властивості, як і певні інтеграли (лінійність, адитивність, формули середнього значення і т.д.).

має місце формула

яка показує, що порядок інтегрування можна міняти.

Інтеграл (1) являє собою обсяг тіла, обмеженого знизу прямокутником P, збоку - бічними гранями прямої призми, побудованому на цьому прямокутнику, а зверху - тією частиною поверхні, яка вирізана цієї призмою (рис. 1).

2. Якщо функція f (x, y) неперервна на множині

де і безупинні на відрізку [a, b] і на [a, b]

Права частина в (3) називається повторним інтегралом, тобто результатом послідовного обчислення спочатку інтеграла по y при фіксованому x. а потім інтеграла по x від отриманої функції.

3. Якщо функція f (x, y) неперервна в області G (рис. 3),

де функції і безупинні на сегменті [c, d] і на [c, d], то вірно рівність

4. Якщо область G така (рис. 4), що до неї може бути застосована і формула (3) і формула (4), то

Це рівність використовується для зміни порядку інтегрування в повторному інтегралі.

Області більш складного виду слід розбити на частини, до яких може бути застосована формула (3) або (4).

Подвійний інтеграл являє собою обсяг

циліндричного бруса - тіла, обмеженого зверху поверхнею z = f (x, y). з боків циліндричною поверхнею з утворюючими, паралельними осі z. знизу - фігурою G на площині xy (рис. 5).

Приклад 1. Виміряти порядок інтегрування в інтегралі

Рішення. У розглянутому прикладі слід починати з побудови області інтегрування, оскільки інтеграли задані із зазначенням порядку інтегрування і меж по відповідним змінним. Нагадаємо, що змінні межі інтегрування внутрішнього інтеграла є межами зміни x при фіксованому y. Тому область інтегрування G 1 для першого інтеграла можна задати нерівностями

де і являють собою дуги параболи лежать нижче осі Ox. Область інтегрування в другому інтегралі має вигляд

де криві і являють собою дуги параболи і дугу окружності лежать вище осі Ox.

Нехай G = G1 UG2 (рис. 6). Тоді кожна пряма x = const, перетинає безліч G по відрізку з кінцями і

Отже, область G можна представити у вигляді

Зауважимо, що зміна порядку інтегрування в повторному інтегралі іноді істотно спрощує його обчислення.

Приклад 2. Обчислити інтеграл де область G обмежена лініями: і у = 0 (рис.7).

Рішення. При кожному фіксованому значенні y. значення x змінюється від до x = (2 - y) e. Тому

Інтегруючи тепер функцію по y в межах від y = 0 до y = 1. отримаємо

При обчисленні інтеграла

використовуємо форму інтегрування частинами. маємо

Приклад 3. Обчислити обсяг тіла, обмеженого поверхнями

Рішення. Область інтегрування G має вигляд (рис. 8).

Відповідно до формули (3) маємо

Приклад4. Обчислити обсяг тіла, що відсікається від еліптичного параболоїда площиною x = k (k> 0) (рис. 9).

Рішення. У кожному з чотирьох октантів, де x позитивно, перебуває четверта частина тіла. Виходячи з цього, отримуємо

II. Заміна змінної в подвійному інтегралі.

Заміна змінної в інтегралі полягає в переході змінних x і y до нових змінних u і v. пов'язаних зі старими співвідношеннями

Якщо виконуються умови:

1 °. Відображення (6) взаємно однозначно.

2 °. Функція в (6) у безперервний спосіб - діфференцируєми в області D.

3 °. Якобіан (6)

то має місце формула

Зазвичай заміна змінних проводиться з метою спрощення області інтегрування. Співвідношення (6) називають переходом від прямокутних декартових координат до криволінійним.

Прикладом криволінійних координат є полярні координати пов'язані з прямокутними (x, y) формулами

Якобіан перетворення (8) дорівнює

Використовуються також узагальнення полярні координати. Як приклад обчислимо обсяг тіла заданого в прикладі 3 (другий спосіб).

Рішення. Введемо узагальнення полярні координати Те гда

Площа S квадрованою області G в площині xy знаходиться за формулою

Переходячи до криволінійним координатам, отримаємо

Величину dxdy називають елементом площі в прямокутних координатах; - елементом площі в криволінійних координатах; - елемент площі в полярних координатах.

Нехай D - криволінійний сектор, обмежений променями: і кри вої - полярні координати (рис. 10). тоді

Нехай G - матеріальна пластинка (квадрованою фігура) на площині xy з щільністю

- статичні моменти пластинки відносно осей Ох і Оу;

- координати центра ваги пластинки;

- момент інерції пластинки відносно осей Ох і Оу;

- момент інерції пластинки відносно початку координат.

Приклад 5. Платівка G задана обмежують її кривими:

- поверхнева щільність. Знайти масу пластинки.

Рішення. Платівку розташуємо в прямокутній системі координат так, щоб центри кіл збігалися з початком координат (рис. 11).

Маємо. Перейдемо в подвійному інтегралі до полярних координат При цьому область G перетворюється в прямокутну область.

*) Цим забезпечено існування всіх зустрічаються нижче інтегралів