плоска деформація

Якщо при навантаженні тіла переміщення всіх точок в результаті деформації відбуваються тільки в двох напрямках, т. Е. В одній площині, то таку деформацію називають плоскою.

Розглянемо стрижень постійного поперечного перерізу, довжина якого в напрямку, наприклад, уздовж осі z велика в порівнянні з розмірами вздовж осей. Припустимо, що стрижень поміщений між гладкими і абсолютно жорсткими площинами, і переміщення на торцях уздовж осі відсутні (рис. 15). Ефект видалення цих площин буде розглянуто нижче. Об'ємні і поверхневі навантаження перпендикулярні поздовжньої осі і не змінюється по довжині стержня:

Тоді в силу симетрії немає переміщень в середньому перерізі. Те ж саме справедливо для будь-якого перетину. Деформації і переміщення можуть відбуватися тільки в двох напрямках, т. Е. Тільки в площині виникає деформація, при якій має місце

Існує багато важливих прикладних задач такого роду, наприклад, для греблі під дією напору води (рис. 16), тунелю або підземного трубопроводу, циліндричного ролика, що стискається силами в діаметральної площині. При цьому навантаження не повинна змінюватися уздовж довжини тіла.

Розглянемо основні рівняння теорії пружності з урахуванням співвідношень (4.1) - (4.3).

Всі теми даного розділу:

Напружений стан в точці тіла
Подумки виріжемо в околиці довільної точки навантаженого тіла елементарний (нескінченно малий) паралелепіпед, грані якого перпендік

На похилій площадці
Знайдемо напруги на деякій похилій до осей майданчику, що проходить через задану точку. Положення майданчика щодо осей координат оп

На заданий напрямок
Напрямок дотичного напруження в площині перетину з зовнішньої нормаллю відносите

Визначення положення головних площадок
Однією з найважливіших завдань інженерних розрахунків є оцінка міцності матеріалів в найбільш напружених точках конструкцій. Для вирішення цього завдання застосовують теорії міцності, в яких використовують

Деформований стан в точці тіла
При навантаженні в тілі виникнуть не тільки напруги, але і деформації - зміни взаємного розташування точок тіла. Розглянемо деформації елементарного паралелепіпеда зі сторонами

Основні рівняння теорії пружності
1) Статичні рівняння (диференціальні рівняння рівноваги усередині тіла - рівняння Нав'є): (3.1) При виведенні у

Визначення компонентів деформацій
Вирази для компонентів деформація в довільній точці отримаємо з рівнянь Коші (3.2), підставляючи в ці рівняння задані функції переміщень

Визначення компонент напружень
Компоненти напруги знаходимо з фізичних рівнянь (3.5), що зв'язують між собою напруження і деформації. Для цього підставимо в (3.5) знайдені значення компонентів деформації

Визначення поверхневих навантажень
Поверхневі сілимогут бути прикладені до бічної поверхні стрижня, а також на правому і лівому його торцях (див. Рис. 12). Визначимо поверхневі зовнішні навантаження, під дією яких виникли на

Геометричні рівняння Коші
З рівнянь Коші (3.2) видно, що в довільній точці стержня три компоненти деформації не дорівнюють нулю (4.4) а решта

Плоский напружений стан
Розглянемо інший граничний випадок, коли розмір тіла в напрямку осі ма

функція напружень
Отже, рішення двовимірних задач зводиться до інтегрування диференціальних рівнянь рівноваги (4.24а) разом з рівнянням спільності деформацій (4.24б). Ці рівняння слід доповнити граничними

Постановка задачі
Прямокутна смуга з вузьким поперечним перерізом, оперта по кінцях, згинається рівномірно розподіленим навантаженням (рис. 19).

Рішення завдання
Рішення плоскої задачі здійснимо зворотним методом, ставлячи собі спочатку функцією напружень, що задовольняє рівняння спільності деформацій Сен-Венана (4.26)

Аналіз отриманих рішень
Порівнюючи вирази для напружень. отримані методами теорії пружності і опору матеріалів, можна зробити наступні висновки:

Постановка задачі
Прямокутна смуга з вузьким поперечним перерізом оперта шарнірно по кінцях (рис. 31). Вона згинається під дією власної ваги з інтенсивністю

Рішення завдання
Покажемо, що завдання про напруги у зазначеній смузі можна вирішити, використовуючи у функцію напружень. заданої у вигляді суми поліномів:

Рішення завдання методами опору матеріалів
На рис. 27 показана розрахункова схема балки, навантаженої розподіленим навантаженням і изгибающими моментами

Аналіз отриманих рішень
1. Формули для дотичних напружень. отримані в теорії пружності та елементарної теорії вигину, збіглися. 2. Вираз для напр