Площа поверхні тіла обертання

Для вирішення поставленого завдання розіб'ємо дугу точками

.

Отримаємо ламану, вписану в дугу. Позначимо довжину кожної ланки ламаної через. а через.

О.2.1. Довжиною кривої називається межа, до якого прагне довжина вписаною ламаною, коли довжина найбільшого ланки ламаної прагне до нуля.

Нехай функція неперервна на разом з першою похідною. Позначимо і. Тоді по теоремі Піфагора з прямокутного трикутника з катетами і знайдемо

.

Використовуючи теорему Лагранжа, отримаємо

.

Довжина всієї ламаної. Так як функція неперервна, то межа отриманої інтегральної суми існує і дорівнює довжині кривої.

.

Таким чином, довжина дуги кривої в декартовій системі координат знаходиться за формулою

2.2. Нехай функція задана параметрично на. тобто

. де; причому. функції і безупинні і мають перші безперервні похідні.

. .

2.3. Нехай крива задана в полярній системі координат

. . Використовуючи формули переходу від полярної до декартовій системі координат, отримаємо:

- параметричне завдання кривої. Використовуючи формулу (2), знайдемо

;

.

Тоді довжина дуги кривої в полярних координатах має вигляд

Тепер можемо перейти в знаходженню площі поверхні обертання.

Площа поверхні тіла обертання

Потрібно обчислити площу поверхні тіла, утвореного обертанням ділянки кривої навколо осі.

Розіб'ємо на частини точками. З'єднаємо точки поділу хордами. Позначимо довжину кожної хорди через

В результаті обертання кожної хорди навколо осі отримаємо усічений конус, площа поверхні якого дорівнює добутку довжини кола середнього перетину на творчу, тобто

Відомо що . де. тому

Площа поверхні всієї фігури дорівнюватиме

Межа цієї суми (якщо він існує) і називається площею поверхні тіла обертання.

Однак, отримана сума не є інтегральною для функції. але можна довести, що межа інтегральної суми для цієї функції буде дорівнює межі зазначеної суми.

Перетворимо до однієї точки

У параметричної формі

В полярній системі координат