Перевірка гіпотез про параметри нормально розподіленої генеральної сукупності (лабораторна

1.3. Перевірка гіпотези про рівність математичних очікувань при відомій дисперсії.

Нехай випадкові величини і мають нормальний розподіл. Нехай - вибірка значень випадкової величини, а - вибірка значень випадкової величини. Припустимо, що і відомі. Потрібно перевірити гіпотезу про рівність.

Виберемо заздалегідь рівень значимості.

Випадкові величини і мають нормальний розподіл з параметрами для і для.

Розглянемо їх різницю, яка також має нормальний розподіл. Знайдемо його параметри:

Зауважимо, що якщо гіпотеза справедлива, то

Розглянемо випадкову величину

Очевидно, що випадкова величина має стандартний нормальний розподіл (тільки за умови справедливості).

Знайдемо критичні значення і, такі, що

Тоді неважко отримати.

Також неважко отримати

Звідси. З цього числа знаходиться значення.

В результаті вийде інтервал для прийняття гіпотези.

За вибірковими даними знаходимо значення

Якщо, то приймається. В іншому випадку відкидається на користь прийняття.

1.4. Перевірка гіпотези про рівність математичних очікувань при невідомій дисперсії.

Нехай випадкові величини і мають нормальний розподіл. Всі їх параметри невідомі, але дисперсії цих випадкових величин рівні. Потрібно перевірити гіпотезу про рівність математичних очікувань по вибірках значень випадкової величини і значень випадкової величини

Виберемо заздалегідь рівень значимості. Побудуємо випадкову величину, що має конкретний розподіл.

В якості оцінки, як.

В якості оцінки, а.

Для оцінки використовуємо обидві вибіркові дисперсії і.

Така оцінка знайдена і в якості оцінки вибирається

Відомо, що має нормальний розподіл з параметрами, має нормальний розподіл з параметрами.

має нормальний розподіл і, а

Якщо гіпотеза вірна, то

Тоді випадкова величина має стандартний нормальний розподіл.

Випадкові величини і обидві мають розподіл відповідно з і ступенями свободи.

Тоді їх сума також має розподіл з ступенями свободи.

Спочатку перетворимо вираз для:

По таблиці розподілу Стьюдента для числа і числа ступенів свободи знаходимо число, таке, що. Тоді інтервал є областю прийняття гіпотези. Потім за даними вибірок обчислюємо значення:

Якщо обчислене значення, то гіпотеза приймається з імовірністю. У зворотному випадку гіпотеза відкидається.

Імовірність відхилення правильної гіпотези дорівнює.

Приклад. Використовується 2 різних методу виготовлення виробу. Щоб перевірити, чи однаково материалоемки ці методи, зібрані статистичні дані про витрату сировини для кожного методу. Отримали наступні дані:

Припускаючи, що среднеквадратические відхилення обох методів рівні, перевірити гіпотезу про те, що матеріаломісткість обох методів однакова.

Виберемо рівень значимості.

Підрахуємо число ступенів свободи:

По таблиці розподілу Стьюдента для 9 та 0,025 знаходимо

Це означає, що інтервал є областю прийняття гіпотези.

За вибірковими даними знайдемо:

Очевидно, що, тому відхиляється. Приймається гіпотеза. При цьому можна зробити висновок про більшу матеріаломісткості другого методу.

1.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій нормальних вибірок

Припустимо, що випадкові величини і обидві мають нормальний розподіл. Потрібно по вибірках значень для випадкової величини і для випадкової величини перевірити гіпотезу про рівність дисперсій цих розподілів.

Виберемо заздалегідь рівень значимості.

Знайдемо точкові оцінки невідомих дисперсій.

За нашою гіпотезою, т. Е. І можуть служити оцінками для. Відомо, що випадкові величини і обидві мають розподіл відповідно з і ступенями свободи і є незалежними випадковими величинами.

Виберемо найбільше значення з і, наприклад,.

Розглянемо випадкову величину:

, яка має розподіл Фішера з ступенями свободи.

Перетворимо вираз для:

т. е., тому можна було відразу знаходити незсунені дисперсії за формулою: