Перетворення Лапласа основні визначення якості формула Дюамеля - рішення задач, контрольних

Перетворення Лапласа Основні визначення Властивості Формула Дюамеля

Раніше ми розглянули інтегральне перетворення Фур'є з ядром K (t, О = е Перетворення Фур'є незручно тим, що повинна бути виконана умова абсолютної інтегрованості функції f (t) на всій осі t, Перетворення Лапласа дозволяє звільнитися від цього обмеження. Визначення 1. Функціей- оригіналом будемо називатьвсякую комплексно значною функцію f (t) действітсл ьного аргументу t, задовольня юшую таким умовам: 1. f (t) неперервна на всій осі t, крім окремих точок, в яких f (t) має розрив 1-го роду, причому накожному кінцевому інтервалеосі * т кіхточек можетбить лише кінцеве число; 2. функція f (t) дорівнює нулю при негативних значеннях t, f (t) = 0 при 3. при зростанні t модуль f (t) зростає не швидше показовою функції, т. е. існують числа М > 0 і s такі, що для всіх t Ясно, що якщо нерівність (1) виконується при деякому s = aj, то воно буде ВИКОНУВАТИСЯ і при ВСЯКОМУ 82> 8]. Точна нижня грань s0 всіх чисел з, «о = infs, для яких виконується нерівність (1), називається показником зростання функції f (t). Зауваження. У загальному випадку нерівність не має місця, але справедлива оцінка де е> 0 - будь-який. Так, функція має показник зростання в0 = Для неї нерівність \ t \ ^ М V * ^ 0 не виконується, але вірно нерівність | f | ^ Меи. Умова (1) набагато менш обмежувальний за умов (*). Приклад 1. функція не задовольняє умові ( »), але умова (1) виконано при будь-якому s ^ I і А / ^ I; показник зростання 5о = • • Так що є функцією-оригіналом. З іншого боку, функція не є функцією-оригіналом: вона має нескінченний порядок зростання, «о = + оо. Найпростішою функцією-оригіналом є так звана одинична функція Якщо деяка функція задовольняє умовам 1 і 3 визначення 1, але не задовольняє умові 2, то твір уже є функцією-оригіналом. Для простоти запису ми будемо, як правило, множник rj (t) опускати, домовившись, що всі функції, які ми будемо розглядати, дорівнюють нулю для негативних t, так що якщо мова йде про якийсь функції f (t), наприклад, про sin ty cos t, el і т. д. то завжди маються на увазі такі функції (рис. 2): п = п (0 рис. 1 Визначення 2. Нехай f р) = e