Перетин і сума підпросторів
Перетин і сума
Нехай і - підпростору векторного простору над полем.
Пропозиція 1. Перетин підпросторів і є векторним простором.
Зауваження 1. Об'єднання просторів і не повинно бути векторним простором, як показано в наступному прикладі.
Приклад 1. Нехай, тобто безліч векторів виду, де. Базисом цього простору служать вектора і. Покладемо і - лінійні оболонки векторів і, відповідно. Сума векторів не міститься в.
Визначення 1.Сумма 1) підпросторів і називається найменше підпростір в, що містить і, тобто
.
Взагалі кажучи, можна визначити суму будь-якого кінцевого числа підпросторів:
Визначення 1 # '. Сума підпросторів в - це найменше підпростір, що містить всі, тобто
.
Пропозиція 2. Нехай і - підпростору конечномерного векторного простору. тоді
.
Внутрішня пряма сума
Визначення 2. Простір називається прямою сумою 2) своїх векторних підпросторів, якщо кожен вектор може бути представлений одним і тільки одним способом у вигляді суми
Пряма сума векторних просторів позначається через.
Зауваження 2. Визначена таким чином пряма сума називається внутрішньої.
Приклад 2. Нехай і підпростору і визначені також, як в прикладі 1. Тоді сума є прямою, тобто.
Пропозиція 3. Сума є прямою тоді і тільки тоді, коли виконано одну з таких двох умов:
.
Слідство 1. Якщо, то сума є прямою тоді і тільки тоді, коли.
Пропозиція 4. Для будь-якого мірного підпростору векторного простору розмірності знайдеться таке -мірним підпростір, що.
Визначення 3. Для підпростору векторного простору підпростір з пропозиції 4. тобто таке, що, називається додатковим подпространством 3) к.
Зовнішня пряма сума
Нехай і - векторні простори над полем.
Визначення 4.Прямой сумою векторних просторів і називається декартовій твір з операціями додавання векторів і множення їх на скаляр. певними наступною формулою:
.
Зауваження 3. Визначена таким чином пряма сума називається зовнішньої. Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що зовнішня пряма сума векторних просторів є векторним простором.
Пропозиція 5. Зовнішня пряма сума просторів і має наступну властивість: якщо і - лінійні відображення, визначені умовами,, то є внутрішньою прямий сумою підпросторів і. Таким чином, .