Паралельні прямі в просторі

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються. Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються перехресними (рис. 322).

Завдання (3). Доведіть, що всі прямі, які перетинають дві дані паралельні прямі, лежать в одній площині.

Рішення. Так як дані прямі а і b паралельні, то через них можна провести площину (рис. 323). Позначимо її. Пряма с, яка перетинає дані паралельні прямі, має з площиною а дві загальні точки - точки перетину з даними прямими. По теоремі 15.2 ця пряма лежить в площині. Отже, всі прямі, що перетинають дві дані паралельні прямі, лежать в одній площині - площині.

Теорема 16.1. Через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і до того ж тільки одну.

Зауваження. Затвердження єдиності в теоремі 16.1 не є простим наслідком аксіоми паралельних, так як цією аксіомою затверджується одиничність прямий, паралельної даної в даній площині. Тому вона потребує доведення.

Доведення. Нехай a - дана пряма і А-точка, що не лежить на цій прямій (рис. 324). Проведемо через пряму а і точку А площину. Проведемо через точку А в площині пряму a1. паралельну a. Доведемо, що пряма a1. паралельна a, єдина.

Припустимо, що існує інша пряма а2. що проходить через точку А і паралельна прямій a.

Через прямі a і А2 можна провести площину 2 Площина 2 проходить через пряму a і точку А; отже, по теоремі 15.1 вона збігається з. Тепер по аксіомі паралельних прямі а, і a2 збігаються. Теорема доведена.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.