парадокси ймовірності

Слово «парадокс» відомо кожному. Однак не кожному відомо, що значення цього слова в логіці і в повсякденному житті дещо різняться.

У логіці під парадоксом розуміється логічно вірне твердження, що доводить як свою істинність, так і свою хибність. Найпростіший приклад такого парадоксу - т.зв. парадокс брехуна. Звучить він до примітивності просто: «Я брешу» (мається на увазі, брешу в даний момент, вимовляючи ці слова). Якщо прийняти це твердження за істину, значить, я дійсно брешу, а значить, це твердження є брехнею. Якщо прийняти це твердження за брехню, значить, я не брешу, а значить, це твердження є істиною.

У повсякденному житті поняття парадоксу набагато прозаїчніше і тривіально. Під цим слово зазвичай розуміють якесь судження різко розходиться із загальноприйнятою думкою, або нашої власною інтуїцією. Подібних парадоксів можна навести безліч. Особливо багато їх якраз в тих областях, розуміння яких саме пов'язано з інтуїцією.

Однією з таких областей є теорія ймовірностей. Саме поняття ймовірності зазвичай залишають без чіткого математичного визначення. Чисто інтуїтивно під випадковою подією ми зазвичай розуміємо якась подія, яке, в силу тих чи інших причин, не можемо заздалегідь передбачити, а під ймовірністю - як би міру ожидаемости цієї події. Імовірність 1/2, наприклад, означає, що ми з однаковим успіхом можемо очікувати, що дана подія відбудеться, як і те, що воно не відбудеться. Наприклад, якщо ми кидаємо монетку, це значить ми з однаковим успіхом можемо розраховувати на те, що випаде Шахтарськ або що випаде решка. Якщо ймовірність близька до одиниці, це означає, що ми в якійсь мірі можемо покластися на те, що ця подія відбудеться. Навпаки, якщо ймовірність близька до нуля, ми можемо бути майже впевнені, що ця подія не відбудеться. Знати яка подія більш очікувано, яке - менше дуже важливо, в тих випадках, коли ми чимось ризикуємо, особливо, якщо ми робимо це постійно. Справа в тому, ймовірність володіє однією чудовою властивістю: для одного конкретного події вона практично невизначена в рамках теорії ймовірності. Ми можемо її тільки оцінити, виходячи з якихось абстрактних міркувань. Наприклад, якщо ми кидаємо монету, ми не знаємо, що вона багато разів перевертається в повітрі, причому, порахувати кількість переворотів не представляється можливим і немає ніяких причин вважати (якщо, звичайно, сторони монети майже однакові, центр ваги нікуди не зміщений і т. д.), що монета впаде швидше орлом, а не решкою, а не навпаки. Однак, коли мова йде про велику кількість подій, то тут, як не дивно, виходить так, що частота народження певної події стає близькою до його ймовірності. Тому, якщо ризикувати один раз, то удача чи невдача зазвичай залежить тільки від везіння, але якщо займатися цим постійно (наприклад, постійно грати на біржі або в карткові ігри (крім випадків мухлежа)), тоді середній виграш буде вже залежати від знання теорії ймовірності та вміння застосувати ці знання на практиці. Якщо кинути монету один раз, то не можна сказати, що випав, наприклад, Шахтарськ, тому що ймовірність його випадання дорівнює 1/2. Він точно так же міг би випасти, якби ймовірність його випадання дорівнювала 1/3 або навіть 1/10 або 4/5. Але якщо кидати одну і ту ж монету довгий час то можна помітити, що кількість випадінь решек і орлів дійсно приблизно однаково. Це властивість називається законом великих чисел. А тепер питання, якою буде ймовірність випадання решки, якщо до цього випало 10 орлів? Більшість скаже, що ймовірність збільшиться і, швидше за все, випаде решка, однак насправді це не так. Імовірність залишиться колишньою. Адже ми кидаємо монету точно так само непередбачено, не знаючи, скільки разів вона перевернеться. Чому ми повинні чекати, що вона тільки заради того, щоб задовольнити нашу інтуїцію, впаде саме решкою? У таких випадках людина інтуїтивно намагається узгодити результат з законом великих чисел, і оскільки ці дві речі не узгоджуються, він безпідставно намагається підправити ймовірність події, яка, насправді, ніяк не залежить від його бажання і попередніх результатів. Це найпростіший приклад того, як інтуїція нас підводить, коли мова йде про ймовірність.

Ось ще один більш складний приклад, названий парадоксом Монті Холла. Уявіть, що ви стали учасником гри, в якій вам потрібно вибрати одну з трьох дверей. За однією з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими дверима - козли. Ви вибираєте одну з дверей, після чого ведучий, відкриває одну з решти дверей. Ведучий завжди відкриває двері, за якими знаходиться козел. Після цього він запитує вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати іншу двері. Питання: чи зміняться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір? Більшість людей, яким вперше задають таке питання, відповідають, що шанси не зміняться, і неважливо, змініть ви свій вибір або не зміните, ймовірність виграти автомобіль буде дорівнює одній другій. Міркування цих людей ясні і зрозумілі: після того, як ведучий відкрив одну з дверей залишилося рівно двоє дверей. За кожною з них може знаходиться автомобіль і ми не знаємо за якою саме, отже, ймовірність вгадати потрібні двері 1/2, незалежно від того, які двері ми виберемо. Однак, це, здається логічним міркування суперечить справжнього розв'язання цього завдання, яке говорить, що якщо ми змінимо свій вибір, ймовірність виграти автомобіль підвищиться до 2/3, в той час, як якщо ми залишимо вибір незмінним, ймовірність виграти автомобіль буде всього 1 / 3. Дійсно, коли ми перший раз вибираємо двері, ймовірність вгадати всього 1/3, тому що дверей всього три. Якщо ми будемо продовжувати наполягати на своєму виборі, то ймовірність ця ніяк не зміниться: за обраною дверима не з'явиться чарівним чином автомобіль якщо спочатку його там не було. Якщо ми наполягаємо на своєму виборі, це означає просто, що ми відмовляємося робити вибір вдруге і погоджуємося на ті шанси, які були дані нам спочатку. А тепер подивимося, що буде, якщо ми змінимо свій вибір. Якщо спочатку ми вибрали двері з козлом (а ймовірність на це 2/3), то, помінявши свій вибір, ми абсолютно точно виграємо автомобіль, оскільки другого козла відкрив ведучий, і ми вже не будемо його вибирати. А програємо ми тільки в тому випадку, якщо спочатку вибрали двері з автомобілем, але ймовірність на це всього 1/3. Отже, якщо ми поміняли вибір, ймовірність збільшується до 2/3, якщо ж ні, вона складає всього 1/3. Але як подібний результат узгодити з нашими міркуваннями про те, що вибираючи з двох дверей одну, незалежно від нашого вибору, ми забезпечуємо собі ймовірність 1/2? Помилковість такого міркування в тому, що рівність можливостей знайти автомобіль за кожною з цих дверей передбачає рівнозначність цих дверей, тобто то, що немає ніяких відмінностей між цими дверима, що можуть змінити ймовірність виявити автомобіль за однією з них. А, між тим, такі відмінності є і дуже суттєві. Одна з цих дверей закрита тільки тому, що ми її вибрали на попередньому кроці. Ведучий ніколи не відкриє двері, яку ми вибрали, що б за неї не знаходилося. Що стосується другої зачинених дверей, то з ймовірністю 2/3 вона закрита саме з тієї причини, що за нею знаходиться автомобіль і у ведучого просто не залишилося вибору крім як залишити ці двері закритою.

Отже, причиною помилковості наших міркувань стало те, що ми не до кінця перейнялися самим поняттям ймовірності. Ми порахували події рівноімовірними тільки на тій підставі, що ми робимо вибір з двох альтернатив, не оцінивши різницю між самими цими альтернативами. Наша інтуїція часто дає збій, коли у нас немає достатньо чітких уявлень про щось, тому не варто повністю їй довіряти. Іноді варто перевіряти наші інтуїтивні уявлення розумом.