Ознаки подільності чисел

Математика - найдавніша наука, вона була і залишається необхідною людям. Слово математика грецького походження. Воно означає «наука», «міркування».

У давнину отримані знання, відкриття часто намагалися зберегти в таємниці. Наприклад, в школі Піфагора було заборонено ділитися своїми знаннями з непіфагорейцамі.

За порушення цього правила один з учнів, який вимагав вільного обміну знаннями, - Гиппас був вигнаний зі школи. Прихильників Гіппаса стали називати математиками, тобто прихильниками науки. Основи математики все без винятку починають вивчати з перших класів школи і з кожним роком знання розширюються. Математика пройшла в усі галузі знань - фізику, хімію, науки про мову, медицину, астрономію і т. Д. Математики вчать обчислювальні машини складати вірші і музику, вимірювати розміри атомів і проектувати греблі, електростанції і т. Д. Багато цікавого можна дізнатися з математики. Мені подобається тема «Ознаки подільності», яку ми вивчали в 6 класі і я вирішив дізнатися про цю тему побільше.

Мета даної роботи висвітлити ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 125.

Знаючи з 6 класу ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10 легко вивести ознаки подільності на 4, 6, 8, 12, 15, 25, 125.

Ці ознаки я об'єднав в таблицю.

на 2 На 2 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується на парні цифри (0,2,4, 6,8)

на 3 На 3 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3

На 4 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, в записі яких останні дві цифри утворюють число, що ділиться на 4

на 5 На 5 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується на 0 або на 5.

на 6 На 6 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, які закінчуються парною цифрою, і сума цифр ділиться на 3

на 8 На 8 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, в записі яких три останні цифри утворюють число, що ділиться на 8

на 9 На 9 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9

на 10 на10 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується на 0

на 12 На 12 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, в записі яких дві останні цифри утворюють число, що ділиться на 4 і сума цифр числа ділиться на 3

на 15 На 15 діляться ті, і тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується на 0 або на 5 і сума цифр ділиться на 3

на 25. Для того щоб натуральне число містить не менше трьох цифр, поділялося на 25 необхідно і достатньо, щоб ділилося на 25 число, утворене двома останніми на 125 Для того щоб натуральне число містить не менше чотирьох цифр поділялося на 125 необхідно і достатньо щоб ділилося на 125 число утворене трьома останніми цифрами.

Вивчаючи різну літературу, я знайшов ознака подільності на 11.

Число ділиться на 11, якщо різниця між сумою його цифр, що стоять на непарних місцях і сумою цифр, що стоять на парних місцях ділиться на 11. (нумерація чисел ведеться зліва направо або справа наліво). Наприклад число 120340568.

Знайдемо суму його цифр стоять на непарних місцях 1 + 0 + 4 + 5 + 8 = 18 і на парних місцях 2 + 3 + 0 + 6 = 11.

Різниця між знайденими сумами 18-11 = 7.

7 не ділиться на 11, значить і дане число не ділиться на 11.

Ознака подільності на 11 можна сформулювати і по-іншому.

Якщо алгебраїчна сума цифр числа з чергуються знаками ділиться на 11, то й саме число ділиться на 11.

Наприклад: не виконуючи ділення, довести, що число 86849796 ділиться на 11.

Рішення: Складемо алгебраїчну суму цифр даного числа, починаючи з цифри одиниць і чергуються знаками «+» і «-».

6 - 9 + 7-9 + 4 - 8 + 6 - 8 = -11

-11 ділиться на 11, значить, число 86849796 ділиться на 11.

І ось ще одна ознака подільності на 11.

Щоб дізнатися чи ділиться число на 11 - треба від числа десятків відняти число одиниць і подивитися, чи ділиться ця різниця на 11.

Візьмемо, наприклад число 583, і застосуємо цю ознаку:

58-3 = 55; 55 ділиться на 11, значить, і 583 ділиться на 11.

Перевіримо тепер на чотиризначного числі.

359-7 = 352 не зрозуміло ділиться чи ні.

35-2 = 33; 33 ділиться на 11, значить, число 3597 ділиться на 11.

Цікаві ознаки подільності на 7 і 13.

Для того щоб натуральне число ділилося на 7 або 13 необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума чисел, що утворюють межі по 3 цифри (починаючи з цифри одиниць), взятих зі знаком «+» для непарних граней і зі знаком «-» для парних граней, ділилася на 7.

Чи не виконуючи поділ довести, що число 254390815 ділиться на 7.

Розіб'ємо число на межі 254,390,815. Складемо алгебраїчну суму граней, починаючи з останньої межі і чергуючи знаки «+» і «-».

Число 679 ділиться на 7, то і число 254390815 ділиться на 7.

Чи не виконуючи поділ довести, що число 304954 ділиться на 13.

Розіб'ємо на межі 304 і 954 складемо алгебраїчну суму граней 954-304 = 650.

Число 650 ділиться на 13, значить, 304954 ділиться на 13.

І існує ще одна ознака подільності, який об'єднує числа 7, 11, 13.

Числа 7, 11, 13 пов'язані між собою загадковим числом 7 * 11 * 13 = 1001

1001 - це 77 чортових дюжен;

1001 - це 143 сімки;

1001 - це 91 раз по 11.

А ще чісло1001 - це число Шехерезади.

Вникнувши в запис 7 * 11 * 13 = 1001, можна додати наступне: візьмемо деяке число 235 і помножимо його на 1001, одержимо 235235.

Так як 1001 ділиться на 7, 11, 13 то й число 235235 ділиться на 7, 11, 13. Звідси випливає висновок: числа виду abcabc діляться на 7, 11, 13. Є, звичайно, і інші ознаки подільності, які я ще не знаю. І що можна за допомогою обчислювальної техніки дізнатися чи ділиться число на інше число, але вже те, що існують такі ознаки подільності і щоб познайомитися з ними, треба вивчити додаткову літературу, і розширивши свої знання, отримати при цьому велике задоволення.