Ознака подільності на 2, приклади, доказ ознаки

У цій статті докладно розібраний ознака подільності на 2. Спочатку дана його формулювання, після чого наведені приклади його застосування при з'ясуванні, які з цілих чисел діляться на два. Далі показано доказ ознаки подільності на 2. На закінчення розглянуті альтернативні способи, що дозволяють встановити подільність на 2 чисел, заданих у вигляді значень деяких виразів.

Навігація по сторінці.

Ознака подільності на 2, приклади

Формулювання ознаки подільності на 2 така: якщо запис цілого числа закінчується однією з цифр 0. 2. 4. 6. 8. то це число ділиться на 2 без остачі, якщо ж запис цілого числа закінчується однією з цифр 1. 3. 5. 7 або 9. то таке число не ділиться на 2 без залишку.

Відзначимо, що озвучений ознака подільності на 2 дозволяє перевіряти як цілі позитивні числа (натуральні числа), так і цілі негативні на їх здатність ділитися на 2 без залишку.

Тепер можна розглянути приклади використання ознаки подільності на 2.

Які з даних чисел 8. -946. 53. 10 900. -988 123 761 діляться на 2.

Безсумнівно, можна розділити кожне з даних чисел на 2 (наприклад, виконавши ділення стовпчиком), звідки буде видно, чи ділиться число на 2 без залишку або з залишком. Однак ознака подільності на 2 дозволяє відповісти на питання завдання набагато швидше.

Так як числа 8. -946. 10 900 закінчуються цифрами 8. 6 і 0 відповідно, то вони діляться на 2 без залишку. У свою чергу числа 53 і -988 123 761 не діляться без остачі на 2. так як закінчуються на 3 та 1 відповідно.

8. -946 і 10 900 діляться на 2. а 53 і -988 123 761 не діляться на 2.

Розберемо приклад розкладання числа на прості множники. в якому зручно і доцільно застосовувати ознака подільності на 2.

Розкладіть число 352 на прості множники.

Так як запис числа 352 останньою цифрою має 4. то з ознаки подільності на два можна стверджувати, що це число ділиться на 2. Маємо 352 # 58; 2 = 176 і 352 = 2 · 176. Очевидно, 176 теж ділиться на 2. Маємо 176 # 58; 2 = 88 і 176 = 2 · 88. тоді 352 = 2 · 176 = 2 · 2 · 88. Так як 88 закінчується цифрою 8. то це число ділиться на 2. Отримуємо 88 # 58; 2 = 44. звідки 88 = 2 · 44 і 352 = 2 · 2 · 88 = 2 · 2 · 2 · 44. Число 44 також ділиться на 2. маємо 44 # 58; 2 = 22 і 44 = 2 · 22. отже, 352 = 2 · 2 · 2 · 44 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22. І знову ознака подільності на 2 дозволяє нам стверджувати, що 22 ділиться на 2. отримуємо 22 # 58; 2 = 11. звідки 22 = 2 · 11 і 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11. А ось число 11 закінчується цифрою 1. отже, не ділиться на 2. Звернувшись до таблиці простих чисел. ми виявимо, що 11 - просте число. Так ми набули необхідного розкладання числа 352. воно має вигляд 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11.

Цілі числа в залежності від їх подільності або неподільності на 2 поділяють відповідно на парні і непарні числа. В силу ознаки подільності на 2 можна стверджувати, що запис будь-якого парного числа закінчується на одну з цифр 0. 2. 4. 6. 8. а непарного - на 1. 3. 5. 7. 9.

Доказ ознаки подільності на 2

Перед доказом ознаки подільності на 2 доведемо допоміжне твердження: будь-яке натуральне число a. запис якого закінчується цифрою 0. ділиться на 2.

Правило множення натурального числа на 10 дозволяє представити число a у вигляді a = a1 · 10. де число a1 виходить з числа a. якщо в його запису прибрати останню цифру (наприклад, 450 = 45 · 10. тут a = 450 і a1 = 45; 390 200 = 39 020 · 10. тут a = 390 200 і a1 = 39 020). У творі a1 · 10 множник 10 ділиться на 2 (тому що 10 = 2 · 5), отже, все твір ділиться на 2 в силу відповідного властивості подільності.

Тепер можна розглянути доказ ознаки подільності на 2. Для зручності формулюємо ознака подільності на 2. озвучений в першому пункті цієї статті, у вигляді необхідного і достатнього умови подільності цілого числа на 2 і доведемо його.

Щоб ціле число a поділялося на 2 необхідно і достатньо, щоб в запису числа a останньою цифрою була 0. 2. 4. 6 або 8.

Число a завжди можна представити у вигляді суми цілого числа десятків і числа одиниць, тобто, у вигляді a = a1 · 10 + a0. де a1 - число, отримане з числа a. якщо в його запису прибрати останню цифру, а a0 - число, відповідне останній цифрі в запису числа a (для пояснення наведемо приклади таких уявлень: 46 = 4 · 10 + 6. 24 328 = 2 432 · 10 + 8). У рівності a = a1 · 10 + a0 твір a1 · 10 завжди ділиться на 2. що ми показали перед цією теоремою.

Все подальше доказ базується на наступному властивості подільності: якщо два з трьох цілих чисел в рівність t = u + v діляться на деяке ціле число z. то й третє число теж ділиться на z.

Якщо a ділиться на 2. то із зазначеного властивості подільності і уявлення a = a1 · 10 + a0 слід, що a0 ділиться на 2. а це можливо лише для a0 рівного 0. 2. 4. 6 або 8. Якщо ж a не ділиться на 2. то знову ж в силу зазначеного властивості подільності число a0 не може ділитися на 2 (інакше б a поділялося на 2), а це можливо тільки при a0 рівному 1. 3. 5. 7 або 9. Цим доведено необхідність.

Тепер назад. Якщо число a закінчується на одну з цифр 0. 2. 4. 6 або 8. то a0 ділиться на 2. Тому в силу зазначеного властивості подільності і уявлення a = a1 · 10 + a0 можна зробити висновок про подільність числа a на 2. Якщо ж a закінчується на одну з цифр 1. 3. 5. 7 або 9. то a0 не ділиться на 2. тому a теж не ділиться на 2. в іншому випадку в силу зазначеного властивості подільності і уявлення a = a1 · 10 + a0 число a0 ділилося б на 2. що неможливо. Цим доведена достатність.

На закінчення цього пункту відзначимо, що числа, записи яких закінчуються цифрами 1. 3. 5. 7 або 9 при розподілі на 2 завжди дають залишок 1.

Дійсно, нехай запис числа a закінчується однією із зазначених цифр. Число a можна уявити як a = b + 1. при цьому число b буде закінчуватися на 0. 2. 4. 6 або 8. Тоді в силу ознаки подільності на 2. число b ділиться на 2. отже, за визначенням подільності може бути представлено у вигляді b = 2 · q. де q - деяке ціле число. Тоді a = 2 · q + 1. Отримане уявлення показує, що при розподілі числа a на 2 виходить неповна частка q та залишок 1 (при необхідності дивіться теорію з розділу розподіл цілих чисел із залишком).

Інші випадки подільності на 2

У цьому пункті ми хочемо торкнутися випадків, в яких ціле число задано безпосередньо, а у вигляді деякого значення буквених виразів. і потрібно визначити, чи ділиться дане число на 2 чи ні. Зазвичай в цих випадках ознака подільності на 2 не допомагає, також не представляється можливим виконати і безпосереднє розподіл. Отже, потрібно шукати якісь інші шляхи вирішення.

Один з підходів до вирішення таких завдань підказує наступне властивість подільності: якщо хоча б один із множників у творі цілих чисел ділиться на дане число, то і весь твір ділиться на це число. Таким чином, якщо ми уявимо вихідне буквене вираз у вигляді добутку декількох множників, один з яких буде ділитися на 2. то цим буде доведена подільність вихідного числа 2.

Уявити вихідне вираз у вигляді добутку декількох множників іноді допомагає формула бінома Ньютона. Розглянемо рішення прикладу.

Чи ділиться значення виразу, обчислене при деякому натуральному n. на 2.

Очевидно рівність. Тепер скористаємося формулою бінома Ньютона, після чого спростимо отриманий вираз:

В останньому виразі можна 2 винести за дужки, в підсумку маємо рівність. При будь-якому натуральному n права його частина ділиться на 2. так як містить множник 2. отже, на 2 ділиться і ліва частина рівності.

У багатьох випадках для доказу подільності на 2 використовується метод математичної індукції. Візьмемо вираз з попереднього прикладу і доведемо методом математичної індукції, що при будь-яких натуральних n його значення ділиться на 2.

Доведіть, що значення виразу при будь-якому натуральному n ділиться на 2.

Скористаємося методом математичної індукції.

По-перше, покажемо, що значення виразу ділиться на 2 при n = 1. Маємо, а 6 очевидно ділиться на 2.

По-друге, припустимо, що значення виразу ділиться на 2 при n = k. тобто, - ділиться на 2.

По-третє, виходячи з того, що ділиться на 2. доведемо, що значення виразу ділиться на 2 при n = k + 1. Тобто, доведемо, що ділиться на 2. враховуючи, що ділиться на 2.

Для цього слід виконати такі перетворення. Вираз ділиться на 2. так як ділиться на 2. вираз теж ділиться на 2. так як містить множник 2. отже, в силу властивостей подільності різницю цих виразів теж ділиться на 2.

Цим доведено, що при будь-якому натуральному n значення виразу ділиться на 2.

Окремо слід сказати про те, що якщо в творі присутні два числа, які йдуть один за одним в натуральному ряду чисел. то такий твір ділиться на 2. Наприклад, твір цілих чисел виду (n + 7) · (n-1) · (n +2) · (n + 6) ділиться на 2 при будь-якому натуральному n. так як воно містить два поспіль числа з натурального ряду чисел (ними є числа n + 6 і n + 7), а одне з них обов'язково ділиться на 2 при будь-якому натуральному n.

Аналогічно, якщо в творі присутні два множники, між якими знаходиться парне число членів натурального ряду, то такий твір ділиться на 2. Наприклад, значення виразу (n + 1) · (n + 6) при будь-якому натуральному n ділиться на 2. так як між натуральними числами n + 1 і n + 6 міститься парна кількість чисел: n + 2. n + 3. n + 4 і n + 5.

Узагальнимо інформацію двох попередніх пунктів. Якщо показати, що значення деякого виразу ділиться на 2 при n = 2 · m і при n = 2 · m + 1. де m - довільне ціле число, то цим буде доведено, що вихідне вираз ділиться на 2 при будь-яких цілих n.

Доведіть, що n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 ділиться на 2 при будь-якому натуральному n.

Початкове вираз можна представити у вигляді добутку (n + 2) 2 · (n + 3) (при необхідності звертайтеся до матеріалу статті розкладання многочлена на множники). У цьому твір присутні множники n + 2 і n + 3. які відповідають двом йде поспіль числах з натурального ряду. При будь-якому натуральному значенні n одне з чисел n + 2 або n + 3 обов'язково ділиться на 2. тому і твір (n + 2) 2 · (n + 3) ділиться на 2. отже, і значення вихідного вираження ділиться на 2.

Наведемо більш суворе доказ.

При n = 2 · m маємо. Цей вислів ділиться на 2. так як містить множник 4. який ділиться на 2.

При n = 2 · m + 1 маємо. Отримане твір ділиться на 2. так як містить множник 2.

Цим доведено, що n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 = (n + 2) 2 · (n + 3) ділиться на 2 при будь-якому натуральному n.

• Виленкин Н.Я. та ін. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ.
• Виноградов І.М. Основи теорії чисел.
• Міхеловіч Ш.Х. Теорія чисел.
• Куликов Л.Я. та ін. Збірник завдань з алгебри і теорії чисел: Навчальний посібник для студентів фіз.-мат. спеціальностей педагогічних інститутів.