Основні програми похідною

Швидкість і прискорення
Нехай функція \ (s \ left (t \ right) \) описує становище об'єкта в деякій системі координат в момент часу \ (t \). Тоді перша похідна функції \ (s \ left (t \ right) \) є миттєвою швидкістю об'єкта:
\ (V = s ^ = f '\)
Друга похідна функції \ (s \ left (t \ right) \) являє собою миттєве прискорення об'єкта:
\ (W = v ^ = s ^ = f '' \)

рівняння дотичної
\ (Y - = f ^ \ prime \ right)> \ right)>, \)
де \ (\ left (\ right) \) - координати точки дотику, \ (f ^ \ prime \ right)> \) - значення похідної функції \ (f \ left (x \ right) \) в точці дотику.

де \ (\ left (\ right) \) - координати точки, в якій проведена нормаль, \ (f ^ \ prime \ right)> \) - значення похідної функції \ (f \ left (x \ right) \) в даній точці.

Зростання і спадання функції
Якщо \ (f '\ left (> \ right)> 0 \), то функція зростає в точці \ (\). На малюнку нижче функція є зростаючою при \ (x \).
Якщо \ (f '\ left (> \ right) 0 \)) для всіх \ (x \) в деякому інтервалі \ (\ left (> \ right] \) і убуває (\ (f' \ left (x \ right ) 0 \)) для всіх \ (x \) з інтервалу \ (\ left [, b> \ right) \), то функція \ (f \ left (x \ right) \) має локальний мінімум в точці \ (\ ).

Другий достатній ознака існування екстремуму
Якщо \ (f '\ left (> \ right) = 0 \) і \ (f' '\ left (> \ right) 0 \), то функція \ (f \ left (x \ right) \) має локальний мінімум в точці \ (\).

опуклість функції
Функція \ (f \ left (x \ right) \) є опуклою вгору (або увігнутою) в точці \ (\), якщо похідна \ (f '\ left (x \ right) \) в цій точці убуває (проміжок \ ( x \)).

Достатні умови опуклості функції вгору і вниз
Якщо \ (f '' \ left (> \ right)> 0 \), то функція \ (f \ left (x \ right) \) опукла вниз в точці \ (\).
Якщо \ (f '' \ left (> \ right)