Ортогональное проектування 1

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Якщо за центр проекцій прийняти невласну точку S простору, то проектують прямі АА1. ВВ1. будуть паралельними між собою. Для їх побудови замість відсутньої на кресленні точки S задають напрям проектування s (рис. 1.4).

Такий вид проектування називається паралельним, а точки А1. В 1. D1. перетину проектують прямих з площиною проекцій П1 - паралельними проекціями точок А, В, D. простору. Очевидно, що при паралельному проектуванні, так само як і при центральному, кожна точка простору має на площині П1 одну проекцію, але ця проекція не визначає положення точки в просторі. Отже, однопроекціонний креслення, отриманий методом паралельного проектування, теж є незворотнім (рис. 1.5). Розрізняють прямокутне (ортогональное) і косокутність паралельне проектування, в залежності від кута, утвореного напрямком проектування з площиною проекцій.

Паралельне проектування, будучи приватним випадком центрального (центр проекцій - невласна точка S. Задається напрямком s), крім властивостей, зазначених у попередньому параграфі, зберігає ще паралельність прямих і ставлення довжин їх відрізків. Властивості геометричних фігур, які зберігаються при даному виді проектування, називаються його інваріантами.

Інваріант паралельного проектування

1. Проекція точки на площину є точка (рис. 1.4)

2. Проекція прямої в загальному випадку пряма: l l1. (Рис. 1.6); вона вироджується в точку, якщо пряма паралельна напрямку проектування:

3. Якщо точка належить лінії, то проекція точки належить проекції лінії (рис. 1.6):

Слідство з пп. 2 і 3. Для побудови проекції прямої досить побудувати проекції двох належать їй точок (рис. 3):

4. Точка перетину ліній проектується в точку перетину їх проекцій (рис. 1.6):

5. Проекції паралельних прямих паралельні (рис. 1.7):

наслідки:
1) відношення довжин відрізків паралельних прямих дорівнює відношенню довжин їх проекцій (рис. 1.7):

2) якщо точка, що належить відрізку прямої, ділить його в деякому відношенні, то проекція точки ділить проекцію відрізка в тому ж відношенні

6. Якщо геометрична фігура Ф належить площині. паралельній площині проекцій (наприклад, П1), то проекція цієї фігури на площину П1 конгруентна самої постаті:

Наприклад, якщо відрізок МN паралельний площині проекцій, то його проекція на цю площину конгруентна самому відрізку

7. Проекція геометричної фігури не змінюється при паралельному перенесенні площині проекцій (рис. 1.5 - анімація).

Примітка.
Метричні характеристики геометричних фігур при паралельному проектуванні в загальному випадку не зберігаються (відбувається спотворення лінійних і кутових величин).

Якщо напрям проектування перпендикулярно площині проекцій, паралельне проектування називається ортогональним (прямокутним)
s П1 (AA1) П1. В цьому випадку проекція А1. точки А називається ортогональної, або прямокутної (рис. 1.9). В іншому випадку проектування називається косокутних.

Ортогональное проектування, будучи приватним випадком паралельного, значно спрощує побудову проекцій геометричних фігур і є основним при виконанні комплексних креслень технічних форм (рис. 1.10). Розглянуті в попередніх параграфах однопроекціонние креслення геометричних фігур є незворотними.

Pис. 1.10 Рис 1.11

За ним можна подумки відтворити просторову форму і розміри зображеного об'єкта. Існують різні способи усунення цього недоліку однопроекціонних креслень в залежності від прийнятого виду проектування. Наприклад, при центральному проектуванні точку можна проектувати з двох різних центрів (рис. 1.12), при паралельному - за допомогою двох різних напрямків, при ортогональному - на дві площини, що перетинаються. Неважко помітити, що в кожному з цих випадків виходять дві проекції А1. і А'1. точки А, однозначно визначають її положення в просторі. Отже, оборотний креслення геометричної фігури повинен містити не менше двох проекцій кожної її точки.

При побудові ортогональних проекцій точки на дві площини, що перетинаються проекцій П1 і П2 (рис. 1.12) кут між ними приймається рівним 90 o. У техніці застосовуються такі види оборотних креслень:
1) комплексні, 2) аксонометричні, 3) перспективні, 4) креслення з числовими відмітками. У посібнику розглядається перший вид креслень.

2) Властивості проектування
Основні інваріантні властивості паралельного проектування.

При паралельному проектуванні порушуються метричні характеристики геометричних фігур (відбувається спотворення лінійних і кутових величин), причому ступінь порушення залежить як від апарата проектування, так і від положення проектованої геометричної фігури в просторі по відношенню до площини проекції.
Але поряд з цим, між оригіналом і його проекцією існує певна зв'язок, яка полягає в тому, що деякі властивості оригіналу зберігаються і на його проекції. Ці властивості називаються інваріантними (проективними) для даного способу проектування.
В процесі паралельного проектування (отримання проекцій геометричної фігури по її оригіналу) або реконструкції креслення (відтворення оригіналу по заданим його проекція) будь-яку теорему можна скласти і довести, базуючись на інваріантних властивостях паралельного проектування, які в нарисної геометрії грають таку ж роль, як аксіоми в геометрії.

Для побудови оборотного креслення необхідно мати дві взаємопов'язані проекції оригіналу.
Тому тільки прямокутне (ортогональное) проектування, по крайней мере, на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій є основним методом побудови технічного креслення (метод Монжа).

Ортогональное (прямокутне) проектування має низку переваг перед центральним і паралельним (косокутних) проектуванням:
1. простоту геометричних побудов для визначення ортогональних проекцій точок
2. можливість при певних умовах зберігати на проекціях форму і розміри оригіналу.

Якщо інформацію про відстань точки відносно площини проекції дати не за допомогою числової позначки, а за допомогою другої проекції точки, побудованої на другий площині проекцій, то креслення називають двухкартінним або комплексним. Основні принципи побудови таких креслень викладені Гаспаром Монжем - великим французьким геометром кінця 18, початку 19 століть, 1789-1818 рр. одним із засновників знаменитої політехнічної школи в Парижі і учасником робіт по введенню метричної системи мір і ваг.

Поступово накопичені окремі правила і прийоми таких зображень були приведені в систему і розвинені в праці Г. Монжа "Geometrie descriptive".

Викладений Монжем метод ортогонального проектування на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій був і залишається основним методом складання технічних креслень.

Відповідно до методу запропонованим Г. Монжем розглянемо в просторі дві взаємно перпендикулярні площини проекцій (рис.6). Одну з площин проекцій П1 розташовують горизонтально, а другу П2 - вертикально. П1 - горизонтальна площина проекцій, П2 - фронтальна. Площині нескінченні і непрозорі.

Площині проекцій ділять простір на чотири двогранні кута - чверті. Розглядаючи ортогональні проекції, припускають, що спостерігач перебуває в першій чверті на нескінченно великій відстані від площин проекцій.

Лінія перетину площин проекцій називається віссю координат і позначається x12. Так як ці площині непрозорі, то видимими для спостерігача будуть тільки ті геометричні об'єкти, які розташовуються в межах тієї ж першої чверті. Щоб отримати плоский креслення, що складається із зазначених проекцій, площину П1 поєднують обертанням навколо осі x12 з площиною П2 (рис.6) .Проекціонний креслення, на якому площини проекцій з усім тим, що на них зображено, суміщені певним чином одна з іншого, називаетсяепюром Монжа (франц. Epure - креслення.) або комплексним кресленням. Геометричні об'єкти діляться на: лінійні (точка, пряма, площина), нелінійні (крива лінія, поверхня) і складені (багатогранники, одномірні і двовимірні обводи). Розглянемо способи їх утворення, графічного завдання і можливі варіанти положення по відношенню до площин проекцій.

Малюнок 6. Просторова модель двох площин проекцій

4)
Комплексний креслення точки

Щоб побудувати зображення предмета, спочатку зображують окремі його елементи у вигляді найпростіших елементів простору. Так, зображуючи геометричне тіло, слід побудувати його вершини, представлені точками; ребра, представлені прямими і кривими лініями; грані, представлені площинами і т.д

Правила побудови зображень на кресленнях в інженерної графіки грунтуються на методі проекцій. Одне зображення (проекція) геометричного тіла не дозволяє судити про його геометричній формі або формі найпростіших геометричних образів, що становлять це зображення. Таким чином, не можна судити про становище точки в просторі по одній її проекції; становище її в просторі визначається двома проекціями.

Розглянемо приклад побудови проекції точки А. розташованої в просторі двогранного кута (рис. 60). Одну з площин проекції розташуємо горизонтально, назвемо її горизонтальною площиною проекцій і позначимо літерою П1. Проекції елементів простору на ній будемо позначати з індексом 1: А1. а1. S1 ... і називатьгорізонтальнимі проекціями (точки, прямої, площини).

Другу площину розташуємо вертикально перед спостерігачем, перпендикулярно першої, назвемо еевертікальной площиною проекцій і позначимо П2. Проекції елементів простору на ній будемо позначати з індексом 2: А2.

Спроектуємо точку А ортогонально на обидві площини проекцій:

Проектують промені Аа1 і АА2 взаємно перпендикулярні і створюють в просторі проецирующую плоскостьАА1 АА2. перпендикулярну обом сторонам проекцій. Ця площина перетинає площині проекцій по лініях, що проходить через проекції точки А.

Щоб отримати плоский креслення, сумісний горизонтальну площину проекцій П1 з фронтальним площиною П2 обертанням навколо осі П2 / П1 (рис. 61, а). Тоді обидві проекції точки виявляться на одній лінії, перпендикулярній осіП2 / П1. Пряма А1 А2. з'єднує горизонтальну А1 і фронтальну А2 проекції точки, називається вертикальною лінією зв'язку.

Отриманий плоский креслення називається комплексним кресленням. Він являє собою зображення предмета на кількох сполучених площинах. Комплексний креслення, що складається з двох ортогональних проекцій, пов'язаних між собою, називається двухпроекціонной. На цьому кресленні горизонтальна і фронтальна проекції точки завжди лежать на одній вертикальній лінії зв'язку.

Дві пов'язані між собою ортогональні проекції точки однозначно визначають її положення щодо площин проекцій. Якщо визначити положення точки А щодо цих площин (рис. 61, б) її висотою h (Аа1 = h) і глибиною f (AA2 = f), то ці величини на комплексному кресленні існують як відрізки вертикальної лінії зв'язку. Ця обставина дозволяє легко реконструювати креслення, т. Е. Визначити за кресленням положення точки відносно площин проекцій. Для цього достатньо в точці А2 креслення відновити перпендикуляр до площини креслення (вважаючи її фронтальної) довжиною, рівній глибині f. Кінець цього перпендикуляра визначить положення точки А відносно площини креслення.