Ортогональні поліноми і криві розподілу ймовірностей

Карпова Наталія Анатоліївна

Санкт-Петербурзький державний університет

Математична статистика є наукою, яка вивчає співвідношення, настільки глибоко проникають в суть речей, що їх можна зустріти при самих різних обставинах. Результати досліджень, отримані за допомогою апарату математичної статистики, використовуються в самих різних областях науки і техніки, таких як біологія, медицина, анатомія, геологія, екологія, економіка, і т.д.

Дана дипломна робота присвячена розгляду двох основних завдань математичної статистики:

отриманню кривої розподілу ймовірностей за наявною вибірці;

знаходженню залежності між двома випадковими величинами, заданими своїми вибірками.

Для вирішення першого завдання використовуються різні методи. У даній роботі розглянуто метод Карла Пірсона, представника англійської школи статистики. Їм було отримано диференціальне рівняння

а так само введений критерій æ (Каппа Пірсона), за допомогою якого Пірсон класифікував рішення цього диференціального рівняння і дав їх у вигляді дванадцяти типів.

Пізніше в своїх теоретичних дослідженнях Колмогоров А. Н. і Марков А. А. довели, що будь-який закон розподілу може бути записаний у вигляді одного з дванадцяти типів кривих Пірсона, тому для вирішення даного завдання використовується метод Пірсона знаходження кривої розподілу.

Для вирішення другого завдання використовується метод П.Л. Чебишева, творця Санкт - Харківської математичної школи. У статистиці ім'я знаменитого українського математика П. Л. Чебишева (1821-1894) відомо головним чином за так званим нерівності Чебишева, яке він запропонував для розподілу ймовірностей, і яке має силу для будь-якого статистичного розподілу численностей.

Однак за останній час в статистиці все більшого значення набувають ортогональні поліноми Чебишева, які мають особливе значення при визначенні множинної і криволінійної регресії і при обчисленні коефіцієнтів узагальненої функції нормального розподілу ймовірностей.

Чебишев запропонував загальну інтерполяційну формулу, при якій можливо інтерполювання в найрізноманітніших випадках. Ця інтерполяціонная формула задовольняє умовам методу найменших квадратів і виражена за допомогою його ортогональних поліномів. Загальна інтерполяціонная формула, або, інакше ряд Чебишева, запропонований Чебишевим в 1855 році. Вона має вигляд

Таким чином в дипломній роботі розглядаються два методи:

метод Пірсона знаходження кривих розподілу ймовірностей,

метод Чебишева отримання ортогональних поліномів,

які були покладені в основу узагальненого методу Грамма - Шарлье знаходження кривої розподілу ймовірностей.

Глава 1. Система кривих Пірсона.

У цьому розділі ставиться завдання знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді. Для її рішення має бути розглянуто підхід К. Пірсона, який є видатним представником англійської статистичної школи.

§ 1. Диференціальне рівняння Пірсона.

Розглянемо випадкову величину, задану своєї вибіркою

, таким чином, можемо записати

- статистичної розподіл. Ставиться завдання знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді.

Метод Пірсона полягає в тому, що ми розглядаємо диференціальне рівняння Пірсона:

і досліджуємо, які рішення можна отримати при різних значеннях параметрів рівняння (1).

Загальний інтеграл цього рівняння представимо у вигляді:

в розкладанні ми отримаємо різні системи ортогональних поліномів.

§ 2. Узагальнення Грамма - Шарлье.

Нехай за методом Пірсона знайдений вид кривої розподілу ймовірностей

на відповідному інтервалі. Тепер, для подання в зручному для практичного використання вигляді, запишемо отриману криву в дещо іншій формі. Для цього використовуємо узагальнення Грамма - Шарлье, яке ґрунтується на застосуванні ортогональних поліномів Чебишева і полягає в тому, що крива розподілу ймовірностей подана в вигляді наступного розкладу:

- є к-ая похідна функції

. Тут вважаємо, що

Висновок.

У дипломній роботі були розглянуті питання знаходження розподілу ймовірностей за заданими вибірковими значеннями випадкової величини. У першому розділі було розглянуто рішення диференціального рівняння Пірсона, проклассифицировать за допомогою æ критерію Пірсона, знайдені типи кривих розподілу ймовірностей і параметри, відповідні кожному типу.

У другому розділі було розглянуто підхід Чебишева до отримання систем ортогональних поліномів, які мають властивість методу найменших квадратів. Було розглянуто застосування методу Чебишева для знаходження кривої розподілу ймовірностей за узагальненим методом Грамма - Шарлье.

У третьому розділі описується алгоритмічне забезпечення знаходження кривих розподілу ймовірностей за методом Пірсона.

Результати дипломної роботи можуть представляти велике значення для вирішення багатьох практичних завдань, так як часто виникає необхідність за експериментальними даними оцінити розподіл ймовірностей виміряної випадкової величини.

Список літератури

Джексон Д. Ряди Фур'є і ортогональні поліноми. М. Державне видавництво іноземної літератури, 1948

Митропольський А.К. Техніка статистичних розподілів. М. видавництво "Наука", 1971

Немчинов В.С. Поліноми Чебишева і математична статистика. М. видання Московської ордена Леніна сільськогосподарської академії імені К.А. Тімірязєва, 1946

Романовський В. І. Математична статистика. Видавництво Академії Наук УзССР, 1961

Суетин П.К. Класичні ортогональні поліноми. М. видавництво "Наука", 1976

Хинчин А. Я. Ланцюгові дроби. М. Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1961

Хотимський В. І. Вирівнювання статистичних рядів за методом найменших квадратів (спосіб Чебишева). М. Державне статистичне видавництво, 1959