Однорідні системи лінійних рівнянь - студопедія

Системи лінійних рівнянь, у якій всі вільні члени дорівнюють нулю, називаютсяоднороднимі:

Будь-яка однорідна система завжди сумісна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним) рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.

Теорема 5.2.Однородная система має нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці менше числа її невідомих.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коли визначник основної матриці системи не дорівнює нулю.

Приклад 5.6. Визначити значення параметра l, при яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:

Рішення . Ця система буде мати нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:

Таким чином, система нетривіальна, коли l = 3 або l = 2. При l = 3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи тільки одне рівняння і вважаючи, що y = a і z = b. отримаємо x = b-a. тобто

При l = 2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи в якості базисного мінор:

отримаємо спрощену систему

Звідси знаходимо, що x = z / 4, y = z / 2. Вважаючи z = 4a. отримаємо

Безліч всіх рішень однорідної системи має досить важливим лінейнимсвойством. якщо стовпчики X1і X2 - рішення однорідної системи AX = 0. то будь-яка їх лінійна комбінація aX1 + bX2также буде вирішенням цієї системи. Дійсно, оскільки AX1 = 0 і AX2 = 0. то A (aX1 + bX2) = aAX1 + bAX2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, то цих рішень буде нескінченно багато.

Лінійно незалежні стовпці E1. E2. ..., Ek. є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо спільне рішення цієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:

Якщо однорідна система має n змінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r. то k = n-r.

Приклад 5.7. Знайти фундаментальну систему рішень наступної системи лінійних рівнянь:

Рішення . Знайдемо ранг основної матриці системи:

Таким чином, безліч варіантів розв'язання системи рівнянь утворює лінійне підпростір розмірності n-r = 5-2 = 3. Виберемо в якості базисного мінор

Тоді залишаючи тільки базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), по-лучім спрощену систему рівнянь:

Вважаючи a = 1, b = c = 0, отримав перший базисне рішення; вважаючи b = 1, a = c = 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c = 1, a = b = 0, здобув третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна система рішень набуде вигляду

З використанням фундаментальної системи спільне рішення однорідної системи можна записати у вигляді

Відзначимо деякі властивості рішень неоднорідної системи лінійних рівнянь AX = B і їх взаємозв'язок відповідної однорідної системою рівнянь AX = 0.

Загальне рішення неоднорідної сістемиравно сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 і довільного приватного рішення неоднорідної системи. Дійсно, нехай Y0 довільне приватне рішення неоднорідної системи, тобто AY0 = B. і Y - спільне рішення неоднорідної системи, тобто AY = B. Віднімаючи одне рівність з іншого, отримаємо
A (Y-Y0) = 0, тобто Y-Y0 є спільне рішення відповідної однорідної системи AX = 0. Отже, Y-Y0 = X. або Y = Y0 + X. Що й потрібно було довести.

Нехай неоднорідна система має вигляд AX = B1 + B2. Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X1 + X2. де AX1 = B1і AX2 = B2. Це властивість висловлює універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці це властивість називається принципом суперпозиції. в електро- і радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, в теорії лінійних електричних ланцюгів струм в будь-якому контурі може бути отриманий як алгебраїчна сума струмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.