однорідні координати

Будь-яка система координат, в якій уявлення точки в двомірному (тривимірному) просторі задається за допомогою трьох (чотирьох) координат (Р1. Р2. Р3 (, Р4)), називається системою однорідних координат. Взагалі, для n-мірного простору число однорідних координат має бути на одиницю більше: n + 1.

Застосування однорідних координат в загальному випадку дозволяє усувати аномалії, що виникають при роботі в декартових координатах, і представляти складні перетворення у вигляді твору декількох матриць.

Геометрична інтерпретація на випадок двовимірного простору: введення третьої координати, що дорівнює одиниці, можна трактувати як перехід в тривимірний простір, в якому дозволено працювати тільки в площині z = 1. Слід уявляти собі, що екран комп'ютера (картинна площина, площина зображення) знаходиться в площині z = 1:

У разі виходу малюнка за перетин z = 1 малюнок повертається примусово в даний перетин - для того, щоб були можливі наступні операції:

Така операція називається нормалізацією однорідних координат:

Загальний вигляд перетворення

Матриця перетворення містить в собі константи m і n. під дією яких точка зміщується на m одиниць уздовж осі x і на n одиниць - уздовж осі y:

За рахунок коефіцієнтів a і d матриці перетворення відбувається збільшення (або зменшення) значення координат точки (x, y) в a і d раз по осях x і y відповідно:

Загальна повне масштабування

В даному випадку при s <1 будет происходить увеличение значения координат точки (x, y) в s раз; при s> 1 ми отримаємо зворотний ефект - зменшення значення координат (x, y) в s раз.

Поворот на кут # 952;

тут # 952; - кут, на який потрібно повернути точку (x, y). Зверніть увагу: поворот відбувається щодо точки (0, 0) декартової системи координат проти годинникової стрілки!

Відображення або віддзеркалення

Віддзеркалення щодо прямої y = x (рис. 1.6a):

· Віддзеркалення щодо прямої x = 0 (рис. 1.6b):

· Віддзеркалення щодо прямої y = 0 (рис. 1.6c):

· Віддзеркалення щодо початку координат (рис. 1.6d):

Поворот фігури навколо довільної точки (m, n) на довільний кут # 945;

Щоб провести будь-яке складне перетворення, необхідно розкласти його на базові операції. Поворот фігури навколо довільної точки (m, n) на довільний кут # 945; складається з трьох базових операцій: 1) перенесення фігури на вектор A (-m, -n) для суміщення точки (m, n) з початком координат; 2) поворот фігури на кут # 945 ;; 3) перенесення фігури на вектор A '(m, n) для повернення її у вихідне положення. Так як фігуру можна уявити набором точок, то операції 1) - 3) можна виконувати послідовно для кожної точки. Покажемо це на прикладі.

Нехай ми хочемо повернути трикутник з координатами A (x, y), B (x1, y1), C (x2, y2) навколо точки D (m, n) на кут # 945 ;. Нехай P-s - матриця переносу точки на вектор A (-m, -n), V # 945; - матриця повороту на кут # 945 ;, Ps - матриця переносу точки на вектор A '(m, n).

Отже, ми маємо всі дані, необхідні для проведення складного перетворення першої точки - A (x, y):

Точно такі ж перетворення необхідно провести для решти двох точок трикутника, підставляючи відповідні їх координати замість x і y (послідовність операцій см. На рис. 1.7). Таким чином, складна операція розбивається на найпростіші і задається твором відповідних матриць перетворення, причому порядок, в якому перемножуються матриці, істотно визначає результат.

Центральне проеціювання (перспектива)

px + qy + 1 = H - площину.

1. У загальному випадку від зміни матриць місцями результат змінюється.

2. Матриці операцій, що йдуть підряд, можна множити окремо, головне - не змінювати їх порядок проходження (див. Примітку 1).

3. Лінії при описаних вище (афінних) перетвореннях переходять в лінії. Тому зазвичай проводиться перерахунок тільки координат вершин фігури, а після цього відповідні вершини в результуючої фігури з'єднуються, як і у вихідній фігурі.

Знаходження точки перетину двох ліній

Нехай є дві лінії: x + y = 1, 2x - 3y = 0, необхідно знайти точку їх перетину. Рішення може бути знайдено з використанням матриць. Перенесемо всі члени рівнянь в ліву частину: x + y - 1 = 0, 2x - 3y - 0 = 0; запишемо коефіцієнти першого рівняння в перший стовпець матриці, другого рівняння - в другій:

Умова, при якому перетинаються дві прямі, виглядає наступним чином:

| X y 1 | * M = | 0 0 1 |

Для знаходження відповіді необхідно обидві частини попереднього рівняння помножити праворуч на зворотну матрицю M-1 (при перемножуванні M і M-1 виходить одинична матриця E):

| X y 1 | * E = | 0 0 1 | * M-1

Відповідь: точка перетину прямих: x = 3/5, y = 2/5.

· Аксонометрична (прямокутна) проекція

Афінна геометрія є креслярським засобом; в цій геометрії використовується паралельне проектування, яке здійснюється пучком паралельних прямих (див. рис. 3.1, зліва). Детермінант матриці перетворень в аффинной геометрії дорівнює нулю. Геометрія перспективна є художнім засобом, в ній відсутні паралельні лінії і використовується центральне проектування, при якому всі лінії сходяться на горизонті в одну точку (див. Рис. 3.1, праворуч); за рахунок того, що одна, дві або три компоненти четвертого стовпця матриці перетворень не дорівнюють нулю, її детермінант також не дорівнює нулю.

Найбільш поширені аффінниє двомірні і тривимірні перетворення. Їх основні геометричні властивості: прямі лінії після перетворення залишаються прямими, паралельні - паралельними, площині залишаються площинами і паралельні площині - паралельними. Креслення тривимірних об'єктів, незалежно від того на папері чи це відбувається або на екрані дисплея, здійснюється за допомогою двомірних проекцій. У плоскій проекції кожна точка предмета проектується певним чином на площину проекції, і її образ називається точкою проекції. Якщо лінії проекції, що з'єднують точки предмета з відповідними точками проекції, паралельні, то ми маємо плоску паралельну проекцію. Якщо ж лінії проекції сходяться в одній загальній точці, то отримується зображення називається центральної проекцією, або перспективним зображенням предмета.

Розглянемо далі кілька видів аксонометричних проекцій. Зауважимо, що серед них виділяються прямокутні (ортогональні) проекції - ті, у яких проектують промені перпендикулярні до площини зображення. Слова "аксонометрична" і "прямокутна" часто використовують як синоніми.