Обчислення статичних моментів і координат центра ваги матеріальної кривої
Статичним моментом точки відносно осі називається добуток маси точки на відстань до прямої.
Розглянемо плоску криву, у якій щільність дорівнює. тоді маса кривої дорівнює її довжині, знайдемо статичний момент кривої щодо осі.
Нехай крива задана рівнянням. Візьмемо на кривій точку і виріжемо з кривою елементарний ділянку довжини. що містить точку. Якщо вважати масу ділянки, рівну. зосередженої в точці. то елементарний момент, тобто статичний момент малого елемента кривої щодо осі дорівнює. Тоді статичний момент всієї кривої щодо осі. знаходиться за формулою.
Аналогічно виводиться формула для обчислення статичного моменту кривої щодо осі. .
Визначення. Центр тяжкості кривої - це така точка, що якщо в ній зосередити всю масу кривої, то її статичний момент відносно осі, що не перетинає криву, буде дорівнює статичному моменту всієї кривої:.
Звідси отримуємо формули для знаходження координат центра ваги однорідної кривої.
У разі якщо крива задана явно рівнянням. координати центру ваги кривої знаходяться за формулами
Приклад 1. Знайти статичний момент півкола щодо її діаметра.
Розташуємо півколо так, щоб її діаметр був на осі. а центр на початку координат.
Рівняння верхньої півкола. Знайдемо значення подкоренного вираження у формулі для обчислення статистичного моменту. Підставляючи в формулу, отримуємо відповідь.
Приклад 2. Знайти статичний момент відносно осі і координати центру ваги дуги астроїди, розташованої в першій чверті.
Запишемо параметричні рівняння астроїди
Формула для обчислення статичного моменту в разі, якщо крива задана параметричними рівняннями.
Обчислимо подкоренное вираз
Підставивши в формулу, знаходимо значення статичного моменту
Знайдемо координати центру ваги кривої.
В силу симетрії. Знайдемо ординату центра ваги за формулою
Статичні моменти і координати центру ваги плоских фігур
Розглядаємо випадок, коли фігура є однорідною, тобто її щільність в кожній точці дорівнює 1. Нехай фігура є криволінійної трапецією, обмеженою зверху графіком функції. Виділимо елементарну нескінченно вузьку вертикальну смужку. Прийнявши цю смужку наближено за прямокутник, знаходимо її масу, рівну площі. Для визначення відповідних елементарних моментів припустимо всю масу смужки зосередженої в її центрі ваги, тобто центрі прямокутника. Отримана матеріальна точка відстоїть від осі на відстань. від осі на відстань. що приблизно дорівнює. Тоді елементарні моменти рівні і. Звідси отримуємо формули
Координати центра ваги однорідної криволінійної трапеції визначаються за формулами.
У разі явного задання функції рівнянням. маємо
Приклад 3. Знайти статичний момент відносно осі і координати центру ваги фігури обмеженою віссю і однією аркою циклоїди.
Запишемо параметричні рівняння циклоїди
Підставами ці рівняння в формулу для обчислення статичного моменту фігури щодо осі:
Знайдемо координати центру ваги фігури. Так як . то фігура симетрична відносно прямої. Тому абсциса центру ваги. Ординату центра ваги знаходимо за формулою.
Обчислимо площу фігури
З огляду на, що відповідний статичний момент вже пораховано, знаходимо ординату центра ваги. Отже, центр ваги фігури розташований в точці.
Вперше ці теореми знайшов олександрійський математик Папп в 3 столітті н.е.
В епоху середньовіччя багато досягнень античної науки були в Європі втрачені. У 17-му столітті теореми знову відкрив швейцарський математик Гульдін.
Перша теорема Паппа-Гульдін. Площа поверхні, утвореної обертанням кривої навколо не перетинає її осі, дорівнює добутку довжини кривої на шлях, прохідний центром тяжіння цієї кривої.
У разі обертання навколо осі теорема записується формулою
Доведення. Розглянемо випадок плоскої кривої, коли вона задана явно рівнянням. Ордината центру ваги кривої знаходиться за формулою. Підставивши сюди формулу для знаходження статичного моменту і помноживши це рівність на довжину кривої. отримуємо
Потім домножимо обидві частини цієї рівності на:
У правій частині цієї рівності стоїть площа поверхні тіла, утвореного обертанням кривої навколо осі.
У лівій частині рівності стоїть твір довжини кривої на довжину окружності. яку описує центр ваги. Теорема доведена.
Приклад 1. Знайти координати центра ваги півкола радіуса з центром в початку координат, розташованої у верхній півплощині.
В силу симетрії абсциса центру ваги. Знайдемо ординату центра ваги, використовуючи першу теорему Паппа-Гульдін. Поверхня, утворена при обертанні кривої навколо осі. є сферою, її площа. Довжина кривої дорівнює половині довжини кола. Підставивши ці значення в формулу. знайдемо ординату центра ваги.
Приклад 2. Знайти площу поверхні обертання півкола навколо дотичній, паралельної її діаметру.
Тоді радіус кола, описуваної центром тяжіння при обертанні півкола навколо дотичній, дорівнює. З першої теореми Паппа-Гульдін маємо формулу. Звідси шукана площа поверхні
Друга теорема Паппа-Гульдін. Обсяг тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо не перетинає її осі, дорівнює добутку площі фігури на шлях, прохідний центром тяжіння цієї фігури. У разі обертання навколо осі теорема записується формулою
Доведення. Розглянемо випадок плоскої кривої, коли вона задана явно рівнянням. Фігура під графіком цієї кривої є криволінійної трапецією. Ордината центра ваги плоскої фігури знаходиться за формулою. Застосовуючи формулу для обчислення статичного моменту. отримуємо. Домножим на число обидві частини цієї рівності:
У правій частині стоїть обсяг тіла, отриманого обертанням кривої навколо осі. Ліва частина є твором площі фігури на довжину окружності, описуваної центром тяжіння цієї фігури.
Приклад 3. Знайти координати центра ваги півкола радіуса R з центром на початку координат, розташованого у верхній півплощині.
Скористаємося другою теоремою Паппа-Гульдін. При обертанні навколо осі півколо утворює кулю. Обсяг кулі дорівнює. площа півкола дорівнює. Підставляючи ці значення в формулу. знаходимо.