Обчислення середніх по таблиці частот
Обчислення середніх по таблиці частот.
Ми згадали визначення трьох числових характеристик, які можна обчислити для довільного числового ряду. Одна-ко в статистиці результати спостережень зручно представляти не у вигляді послідовності чисел, а у вигляді таблиці частот.
Перший стовпець частотної таблиці містить різні зна-чення спостерігається величини, впорядковані по зростанню, другий стовпець - скільки разів це значення повторилося в вибірці, тобто його абсолютну частоту. Таблиця стане ще більш інфор-мативно, якщо додати до неї третій стовпець, що показує, ка-кую частку ці значення становлять від усієї вибірки, тобто їх від-відносна частоту.
Повернемося до прикладу, з якого починалася це заняття: вчених-ник отримав протягом року наступні позначки з алгебри:
5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Уявімо ці дані у вигляді таблиці частот:
Як в цьому випадку знайти середнє арифметичне, моду і ме-Діану?
Ми вже знаємо, що для обчислення середнього арифметич-ського треба скласти всі числа ряду і розділити отриману суму на їх кількість, - вийде 4,4.
Але якщо ми знаємо, скільки разів повторюється в вибірці каж-дое значення (тобто знаємо його абсолютну частоту), замість багаторазового складання одного і того ж числа можна помножити його на абсолютну частоту. Звідси виходить формула для середнього арифметичного, що використовує абсолютні частоти значень ряду:
Розділимо тепер кожний доданок в цій формулі на знаме-Натела - отримаємо формулу для середнього арифметичного за допомогою на-гою відносних частот:
2 * 0,1 +4 * 0,3 + 5 * 0,6 = 4,4.
Особливо відчутний виграш від використання наведених формул, коли чисел у вибірці багато і вони багаторазово повторювали ряют.
Запишемо знайдені формули в загальному вигляді.
Що стосується моди і медіани, то їх обчислення по таблиці частот відбувається ще простіше.
Для обчислення моди потрібно знайти максимальне значення в стовпці абсолютних або відносних частот і вибрати відпо-ветствующее йому значення числового ряду. У нашому випадку максі-мальна частота дорівнює 6, значить, модою вибірки буде 5. Якщо мак-максимальних частот в таблиці кілька, то вибірка не має моди (буде полімодальної).
Для обчислення медіани потрібно знайти перше значення на-накопичений частоти, що перевершує 0,5, і вибрати відпо-вующее йому значення числового ряду. У нашому випадку накопичений-ва частота вперше перевищує 0,5 тільки в останньому рядку таблиці, значить, медианой вибірки буде 5.
^ Завдання для самостійного рішення:
Групу з восьмикласників опитали, скільки часу вони витрачають на приготування домашніх завдань. Їх відповіді представлені на гістограмі.
Знайдіть за цими даними середнє арифметичне, моду і медіа-ну для часу, яке восьмикласники витрачають на приготування до-німи завдання.
2. Кожна число вихідного числового ряду збільшили на 10. Що станеться з його розмахом? Всі числа вихідного числового ря-да збільшили в два рази. Що станеться з його розмахом?
3. Числовий ряд містить 10 одиниць і деяке число х: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, х.
Знайдіть для цього ряду всі відомі вам числові харак-теристики: середнє арифметичне, моду, медіану, розмах. Які з них залежать від х? Намалюйте графіки цих залежностей.