Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах

ЗАУВАЖЕННЯ. Відзначимо ще раз, що при обчисленні подвійного інтеграла в декартових координатах область інтегрування розбивалася на малі частини лініями і, паралельними координатним осях; в полярній системі координат - променями, що виходять із полюса і колами. Такі лінії називаються координатними лініями відповідної системи координат. Уздовж координатних ліній одна з координат змінюється, друга - залишається незмінною.

При обчисленні подвійного інтеграла в будь-який інший криволінійній системі координат для знаходження елемента площі область інтегрування слід розбивати на малі частини координатними лініями цієї системи координат, тобто кривими і.

Допоміжні лінії при переході до повторного інтеграла теж повинні бути координатними лініями, причому внутрішній інтеграл має постійні межі інтегрування тільки тоді, коли обмежена координатними лініями.

8.12. інтеграл Пуассона

У теорії ймовірностей велику роль відіграє невласний інтеграл, який називається інтегралом Пуассона. Як було відзначено в розділі 7, функція не має елементарної первісної, і невизначений інтеграл відноситься до так званих «неберущімся» интегралам. Однак, обчислити невласний можна. Перш, ніж знайти його значення, переконаємося в тому, що він сходиться.

Так як, то, але, тобто за визначенням збіжності невласних інтегралів I роду сходиться. Тому сходиться за ознакою порівняння.

Для обчислення значення інтеграла Пуассона застосуємо такий штучний прийом: розглянемо подвійний інтеграл, де областю інтегрування є перша чверть координатної площини (ріс.56).

В декартових координатах

(Згадаємо, що величина певного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування).

З іншого боку, переходячи до полярної системі координат, отримаємо:

8.13. Обчислення поверхневого інтеграла першого роду

(За площею поверхні)

Нехай на поверхні, що задається рівнянням, визначена неперервна функція. За визначенням поверхневим інтегралом першого роду від цієї функції називається

, де точки, а - малі частини поверхні, на які вона розбивається при складанні інтегральної суми (рис.10).

Будемо вважати, що функція диференційована, тобто в будь-якій точці S можна провести дотичну площину.

Область є проекцією на площину. Висловимо елемент поверхні через його проекцію (ріс.57). Для цього скористаємося відомим твердженням: якщо - проекція плоскою області з площею, то, де кут між площиною області і площиною проекції.

Проведемо в довільній точці обраного елемента поверхні дотичну площину і нехай - та її частина, яка проектується на. Так як функція диференційована, то площа елемента, де кут між дотичній площиною і площиною, який дорівнює куту між їх нормалями.

Обчислимо. Якщо переписати рівняння поверхні в неявному вигляді, то (див. Гл. 6), а тому (див. Гл. 2).

У точках поверхні, де, функція приймає значення, тому відповідно до визначення поверхневий інтеграл першого роду може бути зведений до подвійного інтеграла:

Таким чином, обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла по проекції даної поверхні на площину.