Ноу Інти, лекція, наближення многочленами

Мета лекції. Розглянути основні методи апроксимації числових функцій поліномами. Описати методи поліноміальної інтерполяції функцій.

Досить часто виникає задача відновлення значень функції, яка задана лише в деяких точках. Цілком очевидно, що якщо ми знаємо значення функції лише в деяких фіксованих точках, то значення функції в проміжних значеннях аргументу можуть бути будь-якими. Однак часто є деяка апріорна інформація про властивості функції, за допомогою якої вдається знайти прийнятне значення функції.

Нехай на відрізку задана деяка числова функція. Розбиттям відрізка називається кінцеве безліч точок таких, що

Точки ми будемо називати вузловими точками. Нехай також на ряду з розбиттям відрізка нам дано набір чисел, який має сенс значень функції у вузлових точках. Завдання інтерполяції полягає в тому, щоб знайти значення функції в довільній точці. Дещо рідше виникає задача екстраполяції полягає у тому, щоб знайти значення функції в точці. Ми будемо в основному розглядати задачу інтерполяції.

Рішення завдання інтерполяції може бути представлено у вигляді функції (алгоритму)

Однак частіше під рішенням завдання інтерполяції розуміють побудову такої функції, яка визначена на всьому відрізку. Ця функція називається інтерполяційної.

Класичним методом побудови інтерполяційної функції є побудова многочлена ступеня

Очевидно, що для визначення цього многочлена необхідно і досить знайти значення.

Покажемо, що такий многочлен завжди можна побудувати. Точніше ми висунемо формулу, яка дасть нам цей інтерполяційний многочлен.

Видно, що ці функції самі є многочленами порядку. Безпосередньо з цієї формули ми маємо такі співвідношення

Тоді шуканий інтерполяційний многочлен може бути знайдений за формулою

Можна переконатися також у тому, що цей многочлен єдиний. Дійсно, для будь-якого іншого многочлена, для якого

ми маємо, що. Тоді многочлен має ступінь не більшу, ніж, а також має коренів. За основною теоремою алгебри цей многочлен.

Многочлен. заданий за формулою 14.1 називається інтерполяційним многочленом в формі Лагранжа.

Лагранжева форма интерполяционного многочлена є не єдиною формою интерполяционного многочлена. Більш зручною для практичних розрахунків є інтерполяційний многочлен у формі Ньютона. Для заданого розбиття відрізання і значень функції в цих вузлах введемо поняття роздільної різниці. Роздільній різницею першого порядку називається число

Роздільна різниця-го порядку визначається по рекуррентной формулою

Тепер ми можемо визначити інтерполяційний многочлен у формі Ньютона по формулі

Зрозуміло, інтерполяційний многочлен у формі Ньютона збігається з інтерполяційним многочленом в формі Лагранжа.

Хоча формули для побудови інтерполяційних многочленів виглядають просто, метод інтерполяції функцій многочленами має серйозні недоліки для великих значень. По-перше, робота з многочленами великій мірі, як правило, пов'язане з обчислювальної нестійкістю. По-друге, як було показано К.Рунге в своїй знаменитій праці 1901 року існує така нескінченно гладка функція. для якої інтерполяційний многочлен. побудований на рівномірній сітці може мати нескінченно велике відхилення зі збільшенням кількості вузлових точок.

Розглянемо цей приклад. нехай функція

задана на. Це функція має майже всі "хорошими" властивостями. Для кожного введемо вузлові точки за формулою

Через введемо інтерполяційний многочлен. побудований за формулою 14.1. К.Рунге було показано, що для цього випадку має місце