Нормальний розподіл і його властивості
Криву нормального закону розподілу називають нормальною або кривою Гаусса. Цей розподіл слідує закону, відкритого трьома вченими в різний час: Муавром в 1733 році у Франції, Гауссом в 1809 р в Німеччині і Лапласом в 1812 році у Франції.
де u - висота кривої прямо над всяким заданим значенням х на графіку розподілу частот;
е - основа системи натуральних логарифмів = 2,718.
аіs - числа, які визначають положення кривої щодо числової осі і регулюють її розмах.
Графік нормального розподілу являє собою так звану колоколообразную симетричну криву. Змінюючи значення а і s, можна зрушувати конкретну нормальну криву по числової осі вгору і вниз і міняти її розмах.
Величина a відповідає середньому розподілу частот великої вибірки (математичного сподівання); s - стандартного відхилення цього розподілу. Таким чином, параметр а (математичне очікування) характеризує положення, а параметр s 2 (дисперсія) - форму нормальної кривої.
Нормальний закон розподілу випадкової величини з параметрами а = 0, s 2 = 1. тобто N (0; 1), називається стандартним або нормованим. а відповідна нормальна крива - стандартної або нормованої. Площа обмежена такої кривої дорівнює = 1.
Для суміщення будь-якій нормальній кривій з одиничною досить виконати просте перетворення вихідного розподілу шляхом вирахування середнього значення з кожного індивідуального бала Хi і ділення на s.
Нормальний розподіл характеризується тим, що крайні значення ознаки в ньому зустрічаються досить рідко, а значення близькі до середньої величини - досить часто. Нормальним такий розподіл називається тому, що воно дуже часто зустрічається в природно - наукових дослідженнях і здавалося «нормою» всякого масового випадкового прояву ознаки.
Нормальна крива завжди буде симетричною відносно а. Площа між кривою і віссю х дорівнює 1.
Властивості нормального теоретичного розподілу
1) мода, медіана і середнє арифметичне рівні або мають близькі за величиною значення;
2) показники асиметрії і ексцесу дорівнюють нулю, As = 0 і Еs = 0.
3) Виконується правило трьох сигм.
Загальна для всіх цих кривих: в будь-якому нормальному розподілі приблизно:
1. 68% площі під кривою лежить в межах однієї s від середнього в будь-якому напрямку (тобто а ± 1s);
2. 95% площі під кривою лежить в межах двох s від середнього в будь-якому напрямку (тобто а ± 2s);
3. 99,7% площі під кривою лежить в межах трьох s від середнього в будь-якому напрямку (тобто а ± 3s).
Правило трьох сигм на мові теорії ймовірностей:
Імовірність того, що число Х потрапляє в інтервал | X-mê
А) Якщо в симетричному розподілі ознаки по обидві сторони від вибіркової середньої відкласти відстань рівне s, то воно буде включати 2/3 спостережень (в нормальному розподілі 68% спостережень).
Б) В інтервалі Х = [Хср ± 2s] знаходиться 95% спостережень.
В) В інтервалі Х = [Хср ± 3s] знаходиться 99% спостережень (в нормальному розподілі 99,73% спостережень).
Мал. 3. Графік нормованого нормального розподілу ознаки.
Якщо для однорідної вибірки, отримані за заданою методикою результати підкоряються нормальному закону розподілу, то середнє арифметичне Хср цих результатів і стандартне відхилення s результатів для вибірки визначають кордон статистичної норми [Хср ± s].
Мал. 4. Графік нормального розподілу ознаки
Нормальність розподілу результативної ознаки можна перевірити шляхом розрахунку показників асиметрії і ексцесу і зіставлення їх з критичними значеннями (критерій Н.А. Плохинський або Є.І. Пустильнік). Перевірку відповідності емпіричного розподілу нормальному, можна здійснити і за критерієм # 967; 2 -Пірсона.
Критерій Н.А. Плохинський
Обчислюються помилки репрезентативності асиметрії і ексцесу:
де n-обсяг вибірки
Якщо показники асиметрії і ексцесу перевищують в три і більше разів за абсолютною величиною свою помилку репрезентативності, то емпіричне розподіл відрізняється від нормального.
Критерій Є.І. Пустильнік
Обчислюються критичні значення асиметрії та ексцесу
де n-обсяг вибірки
Якщо емпіричні значення асиметрії та ексцесу більше своїх критичних значень As> Aкр і Es> Екр. то емпіричне розподіл відрізняється від нормального.