невизначений інтеграл

Реферат з вищої математики

Виконала: студентка Лобіна Л.А.

Московський Державний Університет Економіки Статистики і Інформатики.

Первісна та невизначений інтеграл

Розглянемо задачу: Дана функція f (x); потрібно знайти таку функцію F (x), похідна якої дорівнює f (x), тобто. F '(x) = f (x).

Визначення: 1.Функция F (x) називається первісною від функції f (x) на відрізку [a, b], якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність F '(x) = f (x).

Приклад. Знайти первісну від функції f (x) = x2.Із визначення первісної слід, що функція F (x) = х3 / 3 є первісною, так як (х3 / 3) '= x2.

Легко бачити, що якщо для даної функції f (x) існує первісна. то ця первісна не є єдиною. Так, в попередньому прикладі можна було взяти в якості первісних наступні функції:

(Де С- довільна постійна), так як

. З іншого боку, можна довести, що функціями виду

вичерпуються всі первісні від функції x2. Це випливає з наступної теореми.

Теорема. Якщо F1 (x) і F2 (х) - дві первісні від функції f (x) на відрізку [a, b], то різниця між ними дорівнює постійному числу.

Доведення. В силу визначення первісної маємо

F1 '(х) = f (x), F2' (х) = f (x) (1)

При будь-якому значенні х на відрізку [a, b].

F1 (х) - F2 (х) = # 966; (х). (2)

Тоді на підставі рівності (1) буде F'1 (х) - F'2 (х) = f (x) - f (x) = 0 або # 966; '(х) = [F'1 (х) - F'2 (х)]' ≡0 при будь-якому значенні х на відрізку [a, b]. Але з рівності # 966; '(х) = 0 випливає, що # 966; (х) є постійна. Дійсно, можна застосувати теорему Лагранжа до функції # 966; (х), яка, очевидно, неперервна і диференційовна на відрізку [a, b]. Хоч би яка була точка х на відрізку [a, b], ми маємо в силу теореми Лагранжа # 966; (х) - # 966; (а) = (х-а) # 966; '(z), де а

Таким чином, функція # 966; (х) в будь-якій точці х відрізка [a, b] зберігає значення # 966; (а), а це означає, що функція # 966; (х) є постійною на відрізку [a, b]. позначаючи постійну # 966; (а) через С, з рівності (2) і (3) отримуємо F1 (х) - F2 (х) = С.

З доведеної теореми випливає, що якщо для даної функції f (x) знайдена якасьнебудь одна первісна F (x), то будь-яка інша первісна для f (x) має вигляд F (x) + С, де С = const /

Визначення 2. Якщо функція F (x) є первісною для f (x), то вираз F (x) + С називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається ∫f (x) dx.Такім чином за визначенням, ∫ f (x) dx = F (x) + С, якщо F '(x) = f (x). При цьому функцію f (x) називають підінтегральної функцією, f (x) dx- подинтегрального виразом, знак ∫- знаком інтеграла.

Таким чином, невизначений інтеграл являє собою сімейство функцій y = F (x) + С.

З геометричної точки зору невизначений інтеграл представляє сукупність (сімейство) кривих, кожна з яких виходить шляхом зсуву однієї з кривих паралельно самій собі вгору або вниз, т. Е. Вздовж осі Оу.

Природно виникає питання: для будь-якої чи функції f (x) існують первісні (а значить, і невизначений інтеграл)? Виявляється, що на для всякої. Зауважимо, однак, без докази, що якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], то для цієї функції існує первісна (а значить, і невизначений інтеграл).

Знаходження первісної для даної функції f (x) називається інтегруванням функції f (x).

Зауважимо наступне: якщо похідна від елементарної функції завжди є елементарною функцією, то первісна від елементарної функції може виявитися і не представимо за допомогою кінцевого числа елементарних функцій. З визначення 2 слід:

1.Проізводная від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, т.е.еслі F '(x) = f (x), то і

(∫ f (x) dx) '= (F (x) + C)' = f (x). (4)

Остання рівність потрібно розуміти в тому сенсі, що похідна від будь-якої первісної дорівнює підінтегральної функції.

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом:

d (∫f (x) dx) = f (x) dx. (5)

Це виходить на підставі формули (4).

3. Невизначеного інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна постійна:

Справедливість останнього рівності легко перевірити диференціюванням (диференціали від обох частин рівності рівні dF (x)).

2. Таблиця інтегралів.

Перш ніж приступити до викладу методів інтегрування, наведемо таблицю інтегралів від найпростіших функцій.

=

.(Тут і в наступних формулах під З розуміється

=

.

=

=

=

.

=

.

=

.

=

.

=

.

=

=

.

=

.

=

.

=

.

=

.

=

.

Справедливість формул 7,8,11 ', 12,13'і 14 легко встановлюється за допомогою диференціювання.

У разі формули 7 маємо

,

.

У разі формули 8