Нетривіальне і фундаментальне рішення системи лінійних однорідних рівнянь

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок і якусь фундаментальну систему рішень для системи

Рішення знаходимо за допомогою калькулятора. Алгоритм рішення такий же, як і для систем лінійних неоднорідних рівнянь.
Оперуючи тільки з рядками, знаходимо ранг матриці, базисний мінор; оголошуємо залежні і вільні невідомі і знаходимо спільне рішення.

Перша і друга рядки пропорційні, одну з них викреслимо:
.
Залежні змінні - x2. x3. x5. вільні - x1. x4. З першого рівняння 10x5 = 0 знаходимо x5 = 0, тоді
; .
Загальне рішення має вигляд:

Знаходимо фундаментальну систему рішень, яка складається з (n-r) рішень. У нашому випадку n = 5, r = 3, отже, фундаментальна система рішень складається з двох рішень, причому ці рішення повинні бути лінійно незалежними. Щоб рядки були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної з елементів рядків, дорівнював кількості рядків, тобто 2. Досить надати вільним невідомим x1 і x4 значення з рядків визначника другого порядку, відмінного від нуля, і підрахувати x2. x3. x5. Найпростішим визначником, відмінним від нуля, є.
Таким чином, перше рішення:, друге -.
Ці два рішення складають фундаментальну систему рішень. Зауважимо, що фундаментальна система не єдина (визначників, відмінних від нуля, можна скласти хоч греблю гати).

Подивіться як швидко було вирішено це приклад.

Приклад 2. Знайти спільне рішення і фундаментальну систему рішень системи
Рішення.

,
звідси випливає, що ранг матриці дорівнює 3 і дорівнює числу невідомих. Значить, система не має вільних невідомих, а тому має єдине рішення - тривіальне.

Завдання. Дослідити і вирішити систему лінійних рівнянь.
Приклад 4: xml

Завдання. Знайти загальне і часткове вирішення кожної системи.
Рішення. Випишемо основну матрицю системи: