Нескінченно малі і великі послідовності
Нескінченно великі послідовності
Послідовність називається нескінченно великою. якщо для будь-якого числа існує такий номер, починаючи з якого (тобто для всіх) виконується співвідношення.
Зауваження 1. Різниця між нескінченно великий і необмеженої послідовністю в тому, що в разі нескінченно великою послідовності співвідношення повинно виконуватися для всіх, а для необмеженість послідовності досить, щоб існував хоча б один елемент послідовності, для якого виконується.
Слідство. Будь-яка нескінченно велика послідовність є необмеженою.
Зауваження 2. Зворотне твердження в загальному випадку невірно.
є необмеженою, але не є нескінченно великою. Покажемо це.
Дійсно, для будь-якого існує номер (- ціла частина числа), що (знак модуля опущений, так як всі члени заданій послідовності є невід'ємними). Номер є непарних, отже, в цьому випадку. А це означає, що розглядаючи послідовність необмежена.
Так як члени послідовності чергуються і серед них є значення 0, то можна вказати для будь-якого числа такий номер, починаючи з якого всі члени послідовності задовольняють умові, що відповідає тому, що послідовність не є нескінченно великою.
Нескінченно малі послідовності
Послідовність називається нескінченно малою. якщо для будь-якого числа існує такий номер, починаючи з якого () виконується співвідношення.