Нерухома точка - математична енциклопедія - енциклопедії & словники

- 1) Н. т. Відображення Fмножества X- така точка, що. Докази існування Н. т. І методи знаходження Н. т.- важливі завдання математики, т. К. Рішення будь-якого рівняння шляхом перетворення його до виду зводиться до знаходження Н. т. Відображення, де - тотожний оператор. Залежно від того, якою структурою наділене безліч Xі які властивості відображення F, виникають ті чи інші принципи нерухомої точки. Найбільший інтерес представляють випадки, коли X- топологіч. простір і F- безперервний в тому чи іншому сенсі оператор.

Найпростішим з таких принципів є принцип стискаючих відображень. Нехай X- повне метрич. простір і оператор такий, що

Тоді оператор Fімеет в точності одну Н. т.к-раю може бути отримана як межа послідовних наближень довільно. Цим принципом не тільки встановлюється існування Н. т. А й вказується спосіб її знаходження, причому досить просто оцінюється швидкість збіжності послідовності В загальному випадку умова (1) не можна замінити умовою

але якщо Xкомпактно, то умова (2) як і раніше забезпечує наявність у оператора Fедінственной Н. т. Більш загальним є принцип узагальненого стиснення. Нехай, як і вище, X- повне метрич. простір, і

Тоді Fімеет єдину Н. т. Якщо X- Банахів простір, то умова (1) є не що інше, як умова Ліпшиця для оператора Fс константою, меншою одиниці. Принцип стискаючих відображень широко використовується для доказу існування і єдиності рішень алгебраїчних, диференціальних, інтегральних та інших рівнянь і для наближеного знаходження рішень цих рівнянь.

Існують інші умови топологіч. характеру, що забезпечують існування Н. т. у оператора F. Найбільш відомим з них є принцип Шаудера. Нехай X- Банахів простір і F- цілком безперервний оператор, що відображає обмежену опукле замкнутий безліч на свою частину. Тоді Fімеет в схотят б одну Н. т. Проте в цьому випадку питання про кількість Н. т. Залишається відкритим, і немає вказівок про спосіб їх знаходження.

Приклад (теорема Пеано). Нехай функція неперервна за сукупністю змінних в області в цій галузі. Якщо, то на відрізку існує хоча б одне рішення рівняння

Рівняння (4) разом з умовою (5) еквівалентно інтегрального рівняння

в умовах теореми відображає куля простору в себе і цілком безперервний на цій кулі. Тому в силу принципу Шаудера існує Н. т. Оператора F, к-раю і є рішенням задачі Коші (див. [4], [5]).

Узагальненням принципу Шаудера є принцип Тихонова. Нехай X- віддільного локально опукле простір і F- безперервний оператор, що відображає опукле компактне безліч в себе. Тоді Fімеет на схотят б одну Н. т. Існують і інші узагальнення принципу Шаудера, в тому числі на багатозначні відображення, однак у всіх випадках необхідно передбачати опуклість безлічі С, без чого теорема Шаудера і її узагальнення стають невірними. Можливе комбінування принципу Шаудера і принципу стискаючих відображень. Нехай оператор F, що перетворює обмежене замкнутий опукле безліч Сбанахова простору X в себе, можна представити у вигляді де F1 - цілком безперервний і F2 - стискає оператори. Тоді Fімеет в схотят б одну Н. т.

Принципи шаудеровского типу можуть бути наступним чином поширені на некомпактності оператори. Нехай М обмежене безліч повного метрич. простору X. Мірою некомпактності цього безлічі зв. точна нижня межа значень тих, при яких існує кінцева -мережу для М. Для компактних множин Оператор зв. ущільнюючим, якщо для будь-якого некомпактного обмеженого безлічі. Нехай ущільнюючий оператор Fпреобразует обмежене опукле замкнутий безліч в себе. Тоді Fімеет в схотят б одну Н. т. У банахових просторах можна вводити і інші заходи некомпактності, варіюючи к-які, можна отримувати різні варіанти теореми, що дозволяють доводити існування рішень різних диференціальних, інтегральних та інших рівнянь з не цілком безперервними операторами.

Залучення більш тонких топологіч. понять дозволяє сформулювати більш сильні ознаки існування Н. т. Нехай на кордоні обмеженою області Мбанахова простору Xзадано невироджене векторне поле Ф, т. е. кожній точці поставлений у відповідність ненульовий вектор Ф (х). Такому полю при виконанні деяких умов можна співвіднести ціле число, наз. обертанням поля Ф на. Нехай спочатку Xконечномерно і Ф безперервно на. Тоді визначається як топологіч. ступінь отображеніямножества на одиничну сферу. Нехай тепер X- Банахів безконечномірний простір і, де F- цілком безперервний на оператор. Такі поля зв. цілком безперервними.

Нехай конечномерное підпростір досить добре апроксимує і - оператор проектування на. Якщо досить мало для, то поле також невирождени на і його обертання не залежить від вибору апроксимуючих підпросторів і оператора. Це число зв. обертанням цілком безперервного векторного поля Ф на кордоні і позначається. Важливою властивістю обертання є те, що воно не змінюється при гомотопних перетвореннях поля Ф.