Нехай потенційна енергія частинки дорівнює - студопедія

Нескінченно глибока прямокутна потенційна яма. Спектр, стаціонарні стани, розкладання за власними функціями гамільтоніана, середні

(Нескінченно глибока потенційна яма завширшки, див. Малюнок). Знайдемо власні значення і власні функції оператора Гамільтона цієї частки.

Так як в областях потенційна енергія звертається в нескінченність, вимагатимемо, щоб при цих значеннях координат хвильова функція зверталася б в нуль (в іншому випадку середня потенційна енергія частинки дорівнювала б нескінченності). Далі, так як згідно з постулатами квантової механіки хвильова функція неперервна, то в точках і хвильова функція також дорівнює нулю. Тому для знаходження хвильових функцій і енергій стаціонарних станів необхідно вирішити рівняння

в області з граничними умовами і.

Як було доведено на попередній лекції, всі власні значення повинні бути більше мінімального значення потенціалу, тому будемо вирішувати рівняння (1) при.

Лінійно незалежними приватними рішеннями рівняння (1) при є функції і, де. Тому загальний розв'язок рівняння (1) має вигляд

З граничної умови при знаходимо. З другого граничного умови отримуємо, тобто або, або

Перша умова призводить до нульового рішенням. Таким чином, ненульові безперервні рішення рівняння (1), що задовольняють граничним умовам, існують тільки при значеннях, при яких виконана умова (3), з якого знаходимо

Енергії (5) і є власними значеннями оператора Гамільтона і згідно постулатам квантової механіки є можливими спостерігаються значеннями енергії частинки, що знаходиться в нескінченно глибокій потенційній ямі. Власної функцією, що відповідає власному значенню, є функція

Як і повинно бути, постійна залишилася невизначеною. Вона може бути визначена з умови нормування. Легко перевірити, що функції

нормовані на одиницю. Відзначимо, що ці функції не мають певної парністю, незважаючи на те, що, оскільки при значеннях координат, що лежать поза ями, всі власні функції дорівнюють нулю. Однак якби яма була розташована симетрично відносно початку координат, то хвильові функції стаціонарних станів мали б певною парністю. Дійсно, в цьому випадку власні функції можна отримати з (7) за допомогою зсуву їх аргументу на

Знання спектру власних значень і власних функцій частинки в потенційній ямі дозволяє згідно постулатам квантової механіки відповідати на питання про можливі значеннях енергії частки в тих чи інших станах і їх ймовірності. Розглянемо кілька прикладів.

Нехай, наприклад, частка в ямі в момент часу має хвильову функцію

(Де - постійна). Що можна сказати про результати вимірювання енергії частки в момент часу? Якою буде середня енергія частинки як функція часу?

Згідно з основними принципами квантової механіки для відповіді на питання такого роду потрібно розкласти хвильову функцію частинки за власними функціями оператора Гамільтона. Користуючись відомою тригонометричної формулою, уявімо початкову хвильову функцію частинки у вигляді

Формула (9) представляє собою розкладання початкової хвильової функції по власних функціях оператора Гамільтона, в якому, таким чином, з рівними вагами представлені тільки третя і тринадцята власні функції; коефіцієнти перед іншими власними функціями дорівнюють нулю. Це означає, що вимірювання енергії в момент часу з рівними можливостями дадуть третє і тринадцятий

власні значення. Звідси легко знайти середню енергію частинки в цей момент

Так як гамільтоніан не залежить від часу, то ймовірності різних значень енергії і середня енергія іноді не залежать, і, отже, залишаться такими ж в будь-який момент часу.

Можна вирішувати і зворотні завдання - тобто за результатами вимірювання енергій відновлювати хвильову функцію, а по ній знаходити ймовірності можливих значень різних спостережуваних і їх середні значення. Наприклад.

Енергія частинки, що знаходиться в нескінченно глибокій потенційній ямі, може приймати два значення

з вірогідністю і відповідно. Чи буде середнє значення координати частинки в цьому стані залежати від часу?

Будемо міркувати так. Оскільки гамильтониан частки не залежить від часу, загальне рішення тимчасового рівняння Шредінгера має вигляд

де і - власні значення і власні функції оператора Гамільтона, - довільні постійні. Оскільки в розглянутому стані енергія частинки може приймати два значення і, то в сумі (1) присутні два доданків, що відповідають першому і третьому власним станам, а інші коефіцієнти дорівнюють нулю. Тобто хвильова функція частинки в будь-які моменти часу має вигляд

де,. (Відзначимо, що за даними умови хвильова функція відновлюється неоднозначно, оскільки не визначається фазові множники у коефіцієнтів і. Проте, ця неоднозначність не завадить однозначно відповісти на питання завдання). Стан (14) не є стаціонарним, тому середні значення фізичних величин в цьому стані, взагалі кажучи, залежать від часу. Середнє значення координати частинки в стані (14) можна знайти за квантовомеханічною формулою для середніх

(В (15) використана дійсність власних функцій). Інтеграли в першому і другому доданку визначають середнє значення координати в першому і третьому стаціонарних станах і, отже, рівні (це твердження перевіряється за допомогою безпосереднього обчислення інтегралів з використанням власних функцій). Так як хвильові функції стаціонарних станів і парних щодо середини ями і ортогональні, то інтеграли в третьому і четвертому слагаемом дорівнюють нулю. З огляду на, що, одержимо з (3)

Тобто середнє значення координати в даному нестационарном стані не залежить від часу. Однак, якби в розкладанні початкової хвильової функції частинки за власними функціями гамільтоніана містилися б складові, що відповідають як парних, так і непарних стаціонарним станам, перехресні складові в рівність (15) не зверталися б в нуль і середнє значення координати частинки залежало б від часу.

Розглянемо ще один приклад. Нехай хвильова функція частинка в ямі в момент часу має вигляд

Які значення енергії можна отримати при вимірах?

Розкладемо хвильову функцію (17) за власними функціями гамільтоніана

де - коефіцієнти розкладання, які відповідно до основних принципів квантової механіки і визначають ймовірності різних значень енергії. Оскільки власні функції - ортонормірованни, коефіцієнти можна знайти, множачи рівність (18) на власну функцію і інтегруючи

Оскільки хвильова функція частинки - парна щодо центру ями (це парабола, яка звертається в нуль на кордонах ями), функції - парні для непарних номерів, і непарні для парних, то інтеграл (19) буде відмінний від нуля тільки для непарних номерів. Отже, при вимірюванні енергії в розглянутому стані можна виявити перше (що відповідає основним станом), третє, п'яте, сьоме і т.д. власні значення. Друге, четверте, шосте і т.д. власні значення при вимірах в розглянутому стані неможливо.