Не вчасно

Словник синонімів
Недоречно, невпопад, ніяково, несвоєчасно, недоречно, невчасно, передчасно, ні в тин, ні в ворота. І прекрасні ви недоречно, і розумні ви невлад. Пушк. Тепер мені не до сміху. «З паперами-с». - Так, їх бракувало. Гриб. Ось вже кому пристало генеральство як корові сідло. Гог. Прот. До речі. Пор. Невідповідний.

Якщо, звичайно, це не помилка, яких там маса :)
---------------------------------------- ---------------------------------------- ---
> (Якщо немає протиставлення)
Це правило вірно лише для ВСІХ дієприкметників.
А для говірок - тільки якщо вони на -О або -Е.
(А прислівник "вчасно» не на -О, -Е :)

НЕ з іменниками, прикметниками і говірками на -О, -Е пишеться разом, якщо:
- слова не употребляетcя без НЕ;
- слово з НЕ може бути замінено синонімом без НЕ або близьким за значенням виразом.

НЕ з іменниками, прикметниками і говірками на -О, -Е пишеться окремо, якщо:
- в реченні є або мається на увазі протиставлення (з союзом А чи без нього);
- якщо до прикметником і прислівники належать слова ЗОВСІМ, ДАЛЕКО, нітрохи, АЖ НІЯК, НІСКІЛЬКИ, НІКОЛИ, ЗОВСІМ і ін
---------------------------------------- ---------------------------------------- -------
За Вашою ж сслке:
6. Окремо пишеться "не" з займенниковими прислівниками і з говірками міри і ступеня: не тут, не туди, не цілком, не дуже, не зовсім, не повністю, а також з обставинні говірками: не інакше, не сьогодні, не влітку, не після.

НЕ з іменниками, прикметниками і говірками на -О, -Е пишеться окремо. якщо:
- в реченні є або мається на увазі протиставлення (з союзом А чи без нього);
- якщо до прикметником і прислівники належать слова ЗОВСІМ, ДАЛЕКО, нітрохи, АЖ НІЯК, НІСКІЛЬКИ, НІКОЛИ, ЗОВСІМ і ін

Взагалі-то все це правило можна було б звести до однієї фрази: "У негативних пропозиціях НЕ пишеться окремо, а в стверджувальних разом".

Ваша пропозиція стверджувальне. Ті, кому доля музею небайдужа, можуть приєднатися до нас.
До того ж це слово можна замінити синонімом або подібним виразом. Ті, кому доля музею цікава, можуть приєднатися до нас. До нас можуть приєднатися всі, кому цікава доля музею.
А ось негативне пропозицію: До нас можуть приєднатися всі, кому не байдужа, а вкрай цікава доля музею.

Якщо Ви стверджуєте відсутність байдужості у кого-то. то пишете разом.
Вони небайдужі.
Якщо Ви заперечуєте саме байдужість. то пишете окремо.
Вони не байдужі.
В усному мовленні це розрізнити просто - Ви підкреслює це інтонацією.
У письмовій мові, щоб Вас правильно зрозуміли інші люди, Вам потрібно додати хоча б непряме заперечення. Наприклад: Вони аж ніяк не байдужі.