натуральний логарифм

Графік функції натурального логарифма. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності при збільшенні x і швидко наближається до негативної нескінченності, коли x прямує до 0 ( «повільно» і «швидко» в порівнянні з будь-ступеневою функцією від x).

Натуральний логарифм - це логарифм по підставі e. де e - ірраціональна константа, рівна приблизно 2,72. Він позначається як ln # X2061; x. log e # X2061; x x> або іноді просто log # X2061; x. якщо підстава e мається на увазі [1]. Іншими словами, натуральний логарифм числа x - це показник ступеня. в яку потрібно звести число e. щоб отримати x.

Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного дійсного числа a як площа під кривою y = 1 x >> на проміжку [1; a]. Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується даний логарифм, пояснює походження назви «натуральний». Це визначення можна розширити і на комплексні числа.

Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є зворотною функцією до експоненційної функції. що призводить до тотожностям:

Подібно до всіх логарифмам, натуральний логарифм відображає множення в складання:

З точки зору загальної алгебри. логарифмічна функція здійснює ізоморфізм групи позитивних дійсних чисел відносно множення на групу дійсних чисел по складанню:

Логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного підстави, відмінного від 1. а не тільки для e. але логарифми для інших підстав відрізняються від натурального логарифма тільки постійним множником і, як правило, визначаються в термінах натурального логарифма. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, в яких невідомі присутні в якості показника ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійної розпаду для відомого періоду напіврозпаду або для знаходження часу розпаду в рішенні проблем радіоактивності. Вони грають важливу роль в багатьох областях математики і прикладних наук, застосовуються в сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи перебування складних відсотків.