Належність точки і прямої площині

Ознаки приналежності добре відомі з курсу планіметрії. Наше завдання розглянути їх стосовно проекція геометричних об'єктів.

Точка належить площині, якщо вона належить прямій, що лежить в цій площині.

Належність прямої площині визначається по одному з двох ознак:

а) пряма проходить через дві точки, що лежать в цій площині;

б) пряма проходить через точку і паралельна прямій, що лежить в цій площині.

Використовуючи ці властивості, вирішимо як приклад завдання. Нехай площину задана трикутником АВС. Потрібно побудувати відсутню проекцію D1 точки D. належить цій площині. Послідовність побудов наступна (рис. 2.5).

Через точку D2 проводимо проекцію прямої d. лежить в площині DАВС. перетинає одну зі сторін трикутника і точку А2. Тоді точка 12 належить прямим А2D2 і C2В2. Отже, можна отримати її горизонтальну проекцію 11 на C1В1 по лінії зв'язку. Поєднавши точки 11 і А1. отримуємо горизонтальну проекцію d1. Ясно, що точка D1 належить їй і лежить на лінії проекційної зв'язку з точкою D2.

Досить просто вирішуються завдання на визначення приналежності точки або прямої площині. На рис. 2.6 показаний хід рішення таких задач. Для наочності викладу завдання площину задаємо трикутником.

Мал. 2.6. Завдання на визначення приналежності точки і прямої площині.

Для того, щоб визначити чи належить точка Е площині DАВС. проведемо через її фронтальну проекцію Е2 пряму А2. Вважаючи, що пряма а належить площині DАВС. побудуємо її горизонтальну проекцію а1 по точках перетину 1 і 2. Як бачимо (рис. 2.6, а), пряма а1 не проходить через точку Е1. Отже, точка Е ÏDАВС.

У задачі на приналежність прямий в площині трикутника АВС (рис. 2.6, б), досить по одній з проекцій прямої В2 побудувати іншу в1 * вважаючи, що вÌDАВС. Як бачимо, в1 * і в1 не збігаються. Отже, пряма в Ë DАВС.