Накладення, в геометрії

- Під цією назвою в елементарній геометрії розуміють один з основних прийомів доведення теорем про рівність фігур; в геометрії вважається аксіомою, що плоскі фігури можна пересувати по площині без зміни їх виду і властивостей. Н. однієї фігури на іншу досягається пересуванням їх по площині, причому це пересування може іноді супроводжуватися і перевертанням; фігури називаються рівними, якщо при Н. однієї з них на іншу вони збігаються. Зазначена аксіома, власне кажучи, висловлює властивість площині, як предмета, на якому будується плоска геометрія, і в цьому відношенні поняття про Н. фігур може бути поширене і на криві поверхні: кажуть, що одна поверхню накладається на іншу без складок і розривів, якщо точкам однієї поверхні можна так порівняти точки інший, що всілякі відповідні лінії на цих двох поверхнях мають однакові довжини. Зі сказаного випливає наступне завдання, яке вирішується міркуваннями диференціального обчислення: дано дві поверхні; дізнатися, накладається чи одна з них у сказаному сенсі на іншу? Для вирішення цього завдання необхідно користуватися відомою теоремою Гаусса про кривизну поверхонь (див.), Якщо дві поверхні накладаються одна на іншу без складок і розривів, то значення кривизни в відповідних точках цих двох поверхонь повинні бути однакові. Легко зрозуміти, що зворотний висновок не завжди має місце, тому що які б не були дані поверхні, завжди можна на них вибрати такий закон відповідності точок, що кривизни поверхонь для цих відповідних точок будуть однакові. Справді, позначаючи через K кривизну однієї поверхні, вираженої двома незалежними змінними, в яких представлені координати точки на цій поверхні, а через K1 кривизну другий поверхні, вираженої в незалежних змінних, відповідних завданням другої поверхні, то завжди можна взяти за одне рівняння, виражає закон відповідності точок цих двох поверхонь, рівняння K = K1. Щоб переконатися, що одна поверхню накладається на іншу, потрібно показати, що інше рівняння, що виражає закон відповідності точок, можна вибрати так, щоб довжини відповідних кривих на цих двох поверхнях були однакові. Розбір таких умов становить предмет прямої задачі про Н. поверхонь і відноситься до області диференціального обчислення. Зовсім інші труднощі представляє зворотне завдання. знайти всі поверхні, що накладаються на дану без складок і розривів. Це завдання належить до сфери інтегрального числення і вирішена цілком тільки для найпростішого випадку Н. на площину. Виявляється, що накладаються або, як кажуть, розгортаються на площину лише ті поверхні, які представляють геометричне місце дотичних до довільної кривої двоякою кривизни в просторі, так, наприклад, гелікоїд (див.), Утворений рухом дотичній до гвинтової лінії, тобто поверхня, що розгортається на площину. Граничні випадки для зазначених поверхонь представляють поверхні циліндричні і конічні. які завжди розгортаються на площину. Зрозуміло, що розгортаються поверхні належать до числа так званих лінійчатих. тобто поверхонь, утворених рухом прямої лінії (див.). Так як площину є така поверхня, кривизна якої у всіх її точках дорівнює нулю, то на підставі теореми Гаусса ясно, що кривизна поверхонь, що розгортаються на площину, у всіх точках теж дорівнює нулю. До сих пір не вдалося вирішити цілком навіть найближчій по простоті завдання розгортання на кулю, т. Е. На поверхню з постійною позитивною кривизною, не кажучи вже про задачі більш загальної, про розгортання на будь-яку дану поверхню. У цій надзвичайно важкій галузі застосування інтегрального числення до геометрії чудові вишукування Бура, який показав, що існує безліч абсолютно певних гвинтових поверхонь, що розгортаються на дану поверхню обертання.