Можливі переміщення 1

Лекція 19. Принцип можливих переміщень

Механічна система може перебувати під дією прикладених сил в стані рівноваги.

Механічна система знаходиться в рівновазі щодо даної системи відліку Oxyz, якщо швидкості і прискорення її матеріальних точок відносно цієї системи відліку одночасно дорівнюють нулю:.

Принцип можливих переміщень являє собою деяке загальне правило, що виражає необхідна і достатня умова рівноваги для довільної механічної системи (нагадаємо: в статиці необхідні і достатні умови рівноваги встановлюються тільки для твердого тіла). Перш ніж сформулювати це правило, розглянемо деякі нові поняття.

можливі переміщення

Будемо розглядати невільну механічну систему. Наявність зв'язків, характерне для невільної системи, виражається в тому, що до точок системи, крім активних сил, прикладаються додаткові сили від дії зв'язків - реакції зв'язків. Однак наявність зв'язків виражається і в іншому - матеріальні точки невільною системи не можуть отримувати будь-які переміщення в просторі.

Вони можуть мати тільки такі переміщення і швидкості), які узгоджуються з накладеними зв'язками або, інакше, відбуваються без порушення зв'язків. Для виділення таких переміщень вводиться спеціальний термін - можливі (або віртуальні) переміщення.

Можливим переміщенням механічної системи називається будь-яка сукупність (безліч) нескінченно малих переміщень її матеріальних точок, що допускається в даний момент часу всіма накладеними на систему зв'язками.

Можливим переміщенням матеріальної точки М, пов'язаної з нерухомою точкою Про невагомим стрижнем ОМ, служить нескінченно малий вектор, перпендикулярний стрижня (рис. 66). Сторона напрямку не має значення.

Для матеріального стрижня ОМ (рис. 67) можливе переміщення суть безліч векторів, перпендикулярних стрижня і спрямованих в ту або протилежну сторону.

Для механічної системи, показаної на рис. 68, можливе переміщення задається нескінченно малими векторами, пов'язаними співвідношенням і спрямованими як показано на малюнку або в відповідно протилежні сторони.

Можливі переміщення слід відрізняти від нескінченно малих перемещёрій, які отримують точки системи в її дійсному русі, т. Е. В русі, яке фактично відбувається системою під дією прикладених сил і при заданих початкових умовах. Дійсне нескінченно мале переміщення системи виражається диференціалами і обумовлено збільшенням часу t. Можливе ж переміщення визначається при фіксуванні часу - час вважається зупиненим, а точкам системи надається можливість переміщатися незалежно від часу, виходячи тільки з накладеними зв'язками. Це чисто уявне переміщення, що не здійснюється в дійсності системою.

Щоб підкреслити цю відмінність, для диференціалів, що відповідають можливим переміщенням, вводиться замість d позначення.

Можливі переміщення можна задавати, вказуючи проекції векторів на нерухомі координатні осі Oxyz: звані варіаціями координат. При цьому не всі варіації можна вибирати вільно - частина з них будуть величинами залежними і повинні вибиратися з умови збереження зв'язків. Наприклад, для математичного маятника, показаного на рис. 66, з проекцій можливого переміщення незалежна тільки одна. Вибравши за незалежну варіацію, варіацію ми повинні вибирати з умови виконання зв'язку, т. Е. Рівний (рис. 69).

Залежність між варіаціями координат при можливому переміщенні системи можна знаходити за допомогою рівнянь зв'язків. Наприклад, зв'язок, накладена на математичний маятник (рис. 69), полягає в тому, що матеріальна точка М примушена весь час перебувати на окружності радіуса з центром в шарнірі О.

Координати точки задовольняють при цьому рівняння окружності

яке виражає умову зв'язку в математичної формі і називається рівнянням зв'язку. Обчислюючи диференціали від обох частин рівняння зв'язку, отримуємо умову, що накладається зв'язком на варіації координат:

Вибираючи одну з варіацій за незалежну, другу варіацію знаходимо з цього рівняння.

Варіації координат можна висловлювати через проміжні величини (параметри). Наприклад, для математичного маятника (рис. 69), вибравши за параметр кут, для координат точки М отримуємо

Обчислюючи диференціали, знаходимо варіації координат:

При такому способі дій рівняння зв'язку також використовується, тільки виражається воно в параметричної формі (рівняння служать параметричними рівняннями нашої окружності).