Момент інерції і момент імпульсу твердого тіла - студопедія

Моментом інерції тіла щодо осі z є сума добутків елементарних мас на квадрати расстоя- ний від них до даної осі:

де і - маса i -й точки і її відстань від осі.

Момент інерції є міра інертності твердого тіла до зміни його кутової швидкості. Чим більше момент інерції, тим важче змінити його кутову швидкість. Отже, момент інерції тіла при обертальному русі відіграє таку ж роль, що і маса при поступатель- ном русі.

Момент інерції тіла є величиною адитивною. Обчислення моменту інерції тіла проводиться за формулами

де dm і dV - маса і об'єм елемента тіла, що знаходиться на відстані r від осі z. r - щільність тіла в даній точці.

Моменти інерції деяких однорідних тіл правиль- ної геометричної форми щодо осі z. що проходить через центр маси тіла, наведені в таблиці.

Момент інерції Ix тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла Ic щодо парал- інтер- їй осі, що проходить через центр мас С. і виробленою ня маси тіла m на квадрат відстані d між цими осями (теорема Штейнера):

Перпендикулярна стрижню, проходить через його центр

Момент імпульсу є основною кількісною мірою обертального руху тіла. Розрізняють момент імпульсу тіла відносно нерухомої точки (полюса) і відносно нерухомої осі.

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно точки О називається векторний добуток радіус - вектора. проведеного з полюса О в місце знаходження матеріальну ної точки, на імпульс цієї точки (рис. 1.8):

де m і - маса і швидкість матеріальної точки.

Вектор перпендикулярний площині в якій розта- дружини вектори від і. а його напрямок визначається правилом правого гвинта: при обертанні рукоятки свердлика від к. його поступальний рух збігається з напрямком (рис. 1.8)

Модуль моменту імпульсу дорівнює:

Моментом імпульсу системи відносно нерухомої точки О називається геометрична сума моментів імпульсу щодо тієї ж точки Про всіх матеріальних точок системи

де. . - радіус-вектор і імпульс i -й матеріальної точки, а n - загальне число цих точок в системі.

Моментом імпульсу системи відносно неподвіж- ної осі z називається величина Lz, рівна проекції на цю вісь

вектора моменту імпульсу системи відносно будь-якої точки О, що належить цій осі:

Вибір положення точки О на осі z не впливає на чисельне значення Lz. Зокрема, якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі z з кутовою швидкістю. то його момент імпульсу відносно цієї осі:

Тут Iz - момент інерції тіла відносно осі z. а wz - проекція вектора на вісь z. Таким чином, момент імпульсу твердого тіла відносно осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно цієї осі на кутову швидкість.