Мода і медіана щільності розподілу

Завдання 5. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини Х має вигляд

1. Знайти:
а) параметр розподілу С (у вигляді дробу);
а) математичне сподівання M (X);
б) дисперсію D (X) і середньоквадратичне відхилення # 963; (Х);
в) функцію розподілу F (x) випадкової величини X;
г) моду M0;
д) медіану Me;
е) ймовірність здійснення нерівностей і.
2. Побудувати графіки функцій f (x) і F (x). Зобразити на графіку функції f (x) знайдені характеристики і ймовірності.

Рішення знаходимо за допомогою калькулятора.
Випадкова величина Х задана щільністю розподілу f (x):
0, x ≤ 0
2 • A (8/5 -x), 0 0, x ≥ 8/5
Знайдемо параметр A з умови:


або
64/25 * A-1 = 0
Звідки,
A = 25/64
Оскільки знаходили квадрат A, то

г) Мода M0.
Модою M0 (X) називають то можливе значення X, при якому щільність розподілу має максимум.
Побудуємо графік функції щільності розподілу.

Як бачимо, максимум функції відповідає x = 0.
Mo (0) = 2 • 25/64 (8/5 -0) = 5/4

д) Медіана Me.
Медианой Me (X) називають то можливе значення X, при якому ордината f (x) ділить навпіл площу, обмежену кривою розподілу.
Необхідно знайти таке x, при якому функція розподілу дорівнює ½.


Вирішуючи рівняння:

отримуємо:


Оскільки функція обмежена на інтервалі (0; 1,6), то шукане значення x = 0,46.

Побудуємо графік функції розподілу.

е) Імовірність здійснення нерівностей і.