Методика навчання рішенню завдань на рух по похилій площині

Отже, постараюся докладно описати хід моїх міркувань з цього питання. На першому уроці ставлю перед учнями питання: як може тіло рухатися по похилій площині? Разом відповідаємо: скочуватися рівномірно, з прискоренням; спочивати на похилій площині; утримуватися на ній; з'їжджати під дією сили тяги рівномірно, з прискоренням; заїжджати під дією сили тяги рівномірно, з прискоренням. На малюнках на двох-трьох прикладах показуємо, які при цьому на тіло діють сили. Попутно вводжу поняття скочується рівнодіюча. Записуємо рівняння руху у векторній формі, потім у ньому замінюємо суму скочується рівнодіюча (позначайте, як вам подобається). Це робимо з двох причин: по-перше, немає необхідності проектувати вектори сил на вісь і вирішувати два рівняння; по-друге, правильно буде показано співвідношення сил, виходячи з умови задачі.

Покажу на конкретних прикладах. Приклад 1: тіло під дією сили тяги з'їжджає рівномірно (Малюнок 1).

Учні насамперед повинні засвоїти алгоритм побудови малюнка. Изображаем похилу площину, посередині неї - тіло у вигляді прямокутника, через середину тіла паралельно похилій площині проводимо вісь. Напрямок осі не суттєво, але в разі рівноприскореного руху краще показати в сторону вектора, щоб в алгебраїчній формі в рівнянні руху в правій частині перед був знак «плюс». Далі будуємо сили. Силу тяжіння проводимо вертикально вниз довільної довжини (вимагаю малюнки робити великими, щоб всім було все зрозуміло). Потім з точки прикладання сили тяжіння - перпендикуляр до осі, уздовж якого піде сила реакції опори. Одночасно при цьому перпендикуляру з кінця вектора проводимо пунктирну лінію до перетину з віссю. З цієї точки - пунктирну лінію, паралельну до перетину з перпендикуляром - отримуємо вектор правильної довжини. Таким чином, ми побудували паралелограм на векторах і, автоматично вказавши правильну величину сили реакції опори і побудувавши за всіма правилами векторної геометрії рівнодіюча цих сил, яку я називаю скочується рівнодіюча (діагональ, що збігається з віссю). У цьому місці, скориставшись методом з підручника, на окремому малюнку показую силу реакції опори довільної довжини: спочатку коротше, ніж потрібно, а потім довше, ніж потрібно. Показую рівнодіюча сили тяжіння і сили реакції опори: в першому випадку вона спрямована вниз під кутом до похилій площині (Малюнок 2), у другому випадку - вгору під кутом до похилій площині (Малюнок 3).

Робимо дуже важливий висновок: співвідношення між силою тяжіння і силою реакції опори повинно бути таким, щоб тіло під їх дією (або під дією скочується рівнодіюча) за відсутності інших сил рухалося вниз вздовж похилій площині. Далі я питаю: які ще сили діють на тіло? Хлопці відповідають: сила тяги і сила тертя. Я задаю наступне питання: яку силу покажемо спочатку, а яку потім? Домагаюся правильного і обгрунтованої відповіді: спочатку в цьому випадку треба показати силу тяги, а потім силу тертя, модуль якої буде дорівнює сумі модулів сили тяги і скочується рівнодіюча:, тому що за умовою завдання тіло рухається рівномірно, отже, рівнодіюча всіх сил, що діють на тіло, повинна дорівнювати нулю згідно з першим законом Ньютона. Для контролю ставлю провокаційне запитання: так скільки сил діє на тіло? Хлопці повинні відповісти - чотири (не п'ять!): Сила тяжіння, сила реакції опори, сила тяги і сила тертя. Тепер записуємо рівняння руху у векторній формі відповідно до першого закону Ньютона:

Замінюємо суму векторів скочується рівнодіюча:

Отримуємо рівняння, в якому всі вектори паралельні осі. Тепер запишемо це рівняння через проекції векторів на вісь:

Цей запис надалі можна пропускати. Замінимо в рівнянні проекції векторів на їх модулі з урахуванням напрямків:

Приклад 2. тіло під дією сили тяги заїжджає на похилу площину з прискоренням (Малюнок 4).

У цьому прикладі учні повинні сказати, що після побудови сили тяжіння, сили реакції опори і скочується рівнодіюча наступній треба показати силу тертя, останнім - вектор сили тяги, який повинен бути більше суми векторів, тому що рівнодіюча всіх сил повинна бути спрямована так само, як вектор прискорення згідно з другим законом Ньютона. Рівняння руху тіла повинні записати згідно з другим законом Ньютона:

Якщо є можливість на уроці розглянути інші випадки, то ми не нехтуємо цією можливістю. Якщо немає, то даю це завдання додому. Хтось може розглянути всі залишилися випадки, хтось деякі - право вибору учнів. На наступному уроці перевіряємо, виправляємо помилки і переходимо до вирішення конкретних завдань, попередньо висловивши з векторних трикутників і:

Рівність (2) бажано проаналізувати для різних кутів. При маємо:, як при русі горизонтально під дією горизонтальної сили тяги. З ростом кута його косинус зменшується, отже, зменшується і сила реакції опори і стає все менше і менше сили тяжіння. При вугіллі вона дорівнює нулю, тобто тіло не діє на опору і опора, відповідно, «не реагує».

Передбачаю запитання опонентів: як застосувати цю методику для випадків, коли сила тяги горизонтальна або спрямована під кутом до похилій площині? Відповім на конкретних прикладах.

а) Тіло з прискоренням затягують на похилу площину, прикладаючи силу тяги горизонтально (Малюнок 5).

Горизонтальну силу тяги розкладаємо на дві складові: уздовж осі - і перпендикулярну осі - (операція, зворотна побудови рівнодіюча перпендикулярних сил). Записуємо рівняння руху:

Замінюємо скочується рівнодіюча, а замість пишемо:

З векторних трикутників висловлюємо: і:.

Під дією горизонтальної сили тіло не тільки піднімається вгору по похилій площині, але ще і додатково притискається до неї. Тому виникає додаткова сила тиску, що дорівнює модулю вектора і, відповідно до третього закону Ньютона, додаткова сила реакції опори:. Тоді сила тертя буде:.

Рівняння руху набуде вигляду:

Ось ми повністю розшифрували рівняння руху. Тепер залишилося висловити з нього шукану величину. Спробуйте вирішити цю задачу традиційним способом і ви отримаєте таке ж рівняння, тільки рішення буде громоздче.

б) Тіло стягують рівномірно з похилій площині, прикладаючи силу тяги горизонтально (Малюнок 6).

В цьому випадку сила тяги крім стасківанія тіла вниз вздовж похилій площині ще й відриває його від похилій площині. Отже, остаточне рівняння має вигляд:

в) Тіло затягують рівномірно на похилу площину, прикладаючи силу тяги під кутом до похилій площині (Малюнок 7).

1) уважно прочитавши завдання, з'ясувати, як рухається тіло;
2) зробити малюнок з правильним, виходячи з умови задачі, зображенням сил;
3) записати рівняння руху у векторній формі відповідно до першого або другого закону Ньютона;
4) записати це рівняння через проекції векторів сил на вісь x (цей крок в подальшому, коли вміння вирішувати завдання по динаміці буде доведено до автоматизму, можна опустити);
5) висловити проекції векторів через їх модулі з урахуванням напрямків і записати рівняння в алгебраїчній формі;
6) висловити модулі сил за формулами (якщо є необхідність);
7) висловити шукану величину.

Завдання 1. За який час тіло масою зісковзує з похилої площини висотою і кутом нахилу, якщо по похилій площині з кутом нахилу воно рухається рівномірно?

Яке було б вирішувати цю задачу звичним способом!

Завдання 2. Що легше: утримати тіло на похилій площині або рухати його по ній рівномірно вгору?

Тут при поясненні без скочується рівнодіюча, на мій погляд, не обійтися.

Як видно з малюнків, в першому випадку сила тертя допомагає утримувати тіло (спрямована в ту ж сторону, що і утримує сила), у другому випадку вона разом зі скочується рівнодіюча спрямована проти руху. У першому випадку, у другому випадку.