Методи рішення систем рівнянь

При плануванні позакласної роботи, ставлю перед собою мету: викликати інтерес учнів до предмету. Факультативи сприяють розвитку математичного кругозору, творчих здібностей учня, прищеплення навичок самостійної роботи і тим самим підвищенню якості математичної підготовки учня.

Даний факультатив провела в 9 класі після вивчення теми, як повторительно-узагальнюючий, що дозволяє не тільки узагальнити і закріпити отримані знання. На це заняття запрошені 10 учасників 7 класу, в якому я працюю (з них 2 співдоповідача).

Тема: "Методи рішення систем рівнянь".

Тип уроку - прес-конференція.

1. пошук різних способів і методів вирішення систем рівнянь, вміння виступати перед аудиторією з підготовленими повідомленнями.
2. стимулювання творчого мислення нестандартними методами.
3. узагальнення і систематизація знань учнів з даної теми, привчати роботі з довідковою та додатковою літературою.
4. розвиток математичного мислення, взаємовиручки, взаємодопомоги, вмінню вести культурну дискусію, правильної математичної мови.
5. виховання почуття відповідальності.

Обладнання: плакати, таблиці, схема, картки - дивись Додаток 1

Експертна група: учитель, батько, учень.

Порядок (план конференції):

1. Повідомлення 1. З історії рішення систем рівняння / Оглоблина О. / 9 клас
2. Повідомлення 2. Рішення систем методом підстановки / Хохлов Д. / 9 клас
3. Повідомлення 3. Системи симетричних рівнянь / Троянова К. / 9 клас
4. Повідомлення 4. Системи лінійних рівнянь з параметрами / Заблоцький Н. / 7 клас
5. Повідомлення 5. Геометричні прийоми рішення систем рівнянь / Кравець В. / 9 клас
6. Повідомлення 6. Метод Крамера або метод визначників / Трифонова Є. / 9 клас

Творча робота - випуск стінгазети "Вести з конференції"

З історії рішення систем рівнянь.

З давніх-давен застосовувалося виключення невідомих з лінійних рівнянь. У XVII - XVIII ст прийоми виключення розробляли Ферма, Ньютон, Лейбніц, Ейлер, Безу, Лагранж (портрети знаходяться на стенді в кабінеті).

У сучасній записи система двох лінійних рівнянь з двома невідомими має вигляд:

Вирішення цієї системи виражається формулами

Завдяки методу координат, створеному в XVII в. Ферма і Декарт, стало можливим вирішувати системи рівнянь графічно.

У давньовавілонських текстах, написаних в III - II тисячоліттях до н.е. міститься чимало завдань, що вирішуються за допомогою складання систем рівнянь, в які входять і рівняння другого ступеня. Наприклад, Завдання № 20. Площі двох своїх квадратів я склав: 25. Сторона другого квадрата дорівнює боку першого і ще 5. Відповідна система рівнянь в сучасній записи має вигляд:

підставивши, отримуємо 1 х 2 + 6 х =, вирішуючи рівняння, знаходимо х, потім у.

Діофант, який не мав позначень для багатьох невідомих, докладав чимало зусиль для вибору невідомого таким чином, щоб звести рішення системи до вирішення одного рівняння.

Завдання 21. "Знайти два натуральних числа, знаючи, що їх сума = 20, а сума їх квадратів 208".

Завдання так само вирішували складанням системи рівнянь,

але вирішував Діофант, вибираючи в якості невідомого половину різниці шуканих чисел, тобто

x 2 + y 2 = (z + 10) 2 + (10 - z) 2 = 2z 2 + 200, а за умовою = 208

z = ± 2 z = - 2 не задовільно. услов. завдання

тому, якщо z = 2 x = 12, а у = 8.

Рішення систем методом підстановки.

З системами рівнянь ми познайомилися в курсі алгебри 7-го класу, але це були системи спеціального виду - системи двох лінійних рівнянь з двома змінними

Алгоритм, який був вироблений в 7 класі, цілком придатний для вирішення систем будь-яких двох рівнянь з двома змінними х і у.

1. Висловити у через х з одного рівняння системи.
2. Підставити отриманий вираз замість у в інше рівняння системи.
3. Вирішити отримане рівняння щодо х.
4. Підставити по черзі кожен з знайдених на 3 кроці коренів рівняння замість х в вираз у через х, отримане на першому кроці.
5. Записати відповідь у вигляді пар значень (х; у).

Покажу як працює цей метод при вирішенні більш складних систем. / Кравець В. /

х 2 - ху - 2у 2 = 0

вирішимо отримане рівняння щодо х

Д = у2 - 4 • 1 (- 2у2) = 9у2. = 3 | y |

Рішення систем симетричних рівнянь.

Існує універсальний метод вирішення: вводиться підстановка

Перетворимо перше рівняння системи, додавши до обох частин ху

х 2 + ху + ху + у 2 = 4 + ху

х 2 + 2ху + у 2 = 4 + ху

Застосуємо універсальну підстановку

Розглянемо рішення ще однієї системи

(Х + у) 5 = х 5 + 5х 4 у + 10х 3 у 2 + 10х 2 у 3 + 5ху 4 + у 5 = (х 5 + у 5) + 5ху (х 3 + у 3) + 10х 2 у 2 (х + у)

х 3 + у 3 = (х + у) 3 - 3ху (х + у), використовуємо формулу (2)

5 5 = 275 + 5z • 5 3 - 15z 2 • 5 + 10z 2 + 5 /. 25

5 3 = 11 + 25z - 3z 2 + 2z 2. z 2 - 25z + 114 = 0

Системи лінійних рівнянь з параметром

Нагадаю на прикладах три випадки:

а) коли коефіцієнти при х і у не пропорційні

б) коли коефіцієнти всі пропорційні

в) коефіцієнти при х пропорційні коефіцієнтам при у, але не пропорційні вільним членам.

Ці знання необхідні при вирішенні наступних завдань:

* Визначте всі значення параметра а, при яких система рівнянь

Геометричний прийом рішення систем рівнянь

По теоремі зворотної теоремі Піфагора, з рівняння х 2 + у 2 = 3 2. числа х і у є катетами АBD (D - прямий) з гіпотенузою АВ = 3.

Розглядаючи друге рівняння у 2 + z 2 = 16, побудуємо BDC, де у і z - катети, а ВС = 4 - гіпотенуза.

Третє рівняння y 2 = xz підказує, що число у є середнім пропорційним чисел х і z.

По теоремі зворотної теоремі про пропорційні відрізках АВС = 90 0

АС = (х + z) = = 5,

Тоді AB 2 = AD • AC, 9 = х • 5, х =

BC 2 = DC • AC, 16 = z • 5, z =

BD 2 = y 2 = x • z = ·

Такий прийом дає втрату коренів, легко переконатися,

що х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для даної системи завдання можуть бути і інші.

Наприклад, чому дорівнює значення виразу

ху + Уz; х + у + z; х + у; х + z;

Система виду називається системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими, де а1; а2; в 1 ; в 2 ; з1 і с2 - числа. І а1 2 + в1 2. 0 А2 2 + В2 2. 0.

Одним з основних методів вирішення даної системи є метод Крамера або метод визначників. За коефіцієнтами даної системи складаємо три визначника: (головний), х - визначник невідомого х; у - визначник невідомого у.

* Знайдіть всі значення параметра b, при яких система має єдине рішення

Творча робота за картками взаімотренажера "Малюємо координатами".

Вирішіть системи і побудуйте фігуру за координатами.

Конференція закінчилася. Я вірю, що у вас з'явилося бажання спробувати свої сили в розв'язанні систем. Візьміть завдання і приступайте до творчої роботи.

А тепер настав час оформити наступний випуск математичний газети "Вести з конференції".

1. Г.І. Глейзер "Історія математики в школі"

2. І.Я. Депман "За сторінками підручника алгебри"

3. М.Л. Галицький А.М.Гольдман "Збірник завдань з алгебри 8-9"

4. А.Г. Мордкович "Алгебра 9". "Алгебра 7"

5. Ю.Н. Макаричєв "Алгебра 9". "Алгебра 7"