Методи рішення квадратних нерівностей

Квадратні нерівності - це нерівності, що містять квадратний тричлен ax 2 + bx + c, де a ≠ 0.

Вирішити квадратне нерівність (як і будь-яка інша) - це означає, знайти область значень змінної (x), при яких нерівність стає вірним.

Квадратне нерівність можна вирішити графічним методом (методом зображення параболи) і методом інтервалів. Хоча метод інтервалів також можна вважати графічним, якщо ці інтервали зображуються на прямій.

Як відомо, графіком функції y = ax 2 + bx + c є парабола. Її гілки спрямовані вгору, якщо a> 0, і вниз, якщо a <0. Ось x парабола пересекает тогда, когда y = 0. То есть, решив уравнение ax 2 + bx + c = 0, мы найдем те координаты x, в которых парабола пересекает ось x. Та часть (или части) параболы, которая лежит выше оси x, - это положительные значения функции. Ниже оси x — отрицательные. В зависимости от знака квадратного неравенства указываются числовые промежутки, где функция y = ax 2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения.

Парабола може і не перетинати вісь x. При цьому відповідне такої функції квадратне рівняння коренів не має. Якщо ж говорити про відповідному нерівності, то його рішення залежить від знака нерівності і того, вище або нижче осі x розташована парабола. Коли знак нерівності> (, т. Е. Більше нуля), то вся парабола (будь-які значення x) є його рішенням, якщо вона розташована вище осі x. якщо знак <, а парабола расположена выше оси x, то решений у неравенства нет. В случае с параболой, расположенной ниже оси x, ситуация обратная: при знаке <решением неравенства являются любые значения x, при знаке> рішень немає.

Для того, щоб схематично зобразити або уявити параболу на числової осі, треба знайти корінь рівняння ax 2 + bx + c = 0 (або виявити їх відсутність).

Нехай дано квадратне нерівність 4x 2 - 5x + 1 <0. Найдем корни уравнения 4x 2 – 5x + 1 = 0:

Значить, парабола перетинає вісь x у двох точках: 0,25 і 1. Так як коефіцієнт a даного рівняння позитивний, то гілки параболи спрямовані вгору. Так як знак відповідного рівняння нерівності <(требуется найти области значения x, при которых квадратный трехчлен меньше нуля), то область значений параболы, удовлетворяющих неравенству, находится в промежутке от 0,25 до 1 (чтобы понять это надо нарисовать или представить параболу). Так как знак неравенства не строгий, то сами эти числа в область значений не входят.

Таким чином, рішенням квадратного нерівності 4x 2 - 5x + 1 <0 является числовой промежуток, где x ∈ (0,25; 1).

Рішення квадратних нерівностей методом інтервалів полягає в наступному:

Визначаються коріння відповідного тричленне рівняння.
Квадратних тричлен розкладається на множники за формулою ax 2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2), де x1 і x2 коріння квадратного рівняння.
З'ясовується, при яких значеннях x (на яких інтервалах) розкладений на множники тричлен позитивний або негативний.
Залежно від знака квадратного нерівності визначається область значень, що є його рішенням.

Нехай дано розглянуте вище нерівність. Так як його коріння 0,25 і 1, то отримаємо нерівність:

4 (x - 0,25) (x - 1) <0

При яких значеннях x твір буде негативно?

Якщо x> 1, то все множники (і x - 0,25, і x - 1, і 4) є позитивними і, отже, твір позитивно. Значить область значень x> 1 не може бути рішенням нерівності.
якщо 0,25 0, а ось x - 1 <0. Следовательно, произведение множителей отрицательно, а неравенство верно. Значит промежуток (0,25; 1) является решением неравенства.
якщо x <0,25, то x – 0,25 <0 и x – 1 <0. Произведение двух отрицательных множителей и одного положительного (4) даст положительное число. Таким образом область значений x меньше 0,25 не является решением неравенства.

Робиться висновок, що вирішенням цієї проблеми є лише один інтервал, де x ∈ (0,25; 1). При цьому для наочності на числовій прямій позначають інтервали, де x приймає позитивні або негативні значення.

Рівняння і нерівності