Метод Бернуллі рішення диференціальних рівнянь

Приклади розв'язання диференціальних рівнянь методом Бернуллі

Вирішити методом Бернуллі диференціальне рівняння: $$ y '+ 2xy = xe ^ $$

Мабуть рішення почнемо з заміни підстановкою $$ y = uv, y '= u'v + uv' $$ ​​Отримуємо $$ u'v + uv '+ 2xuv = xe ^ $$ Далі необхідно винести за дужки загальний множник u в другому і третьому доданку лівій частині диференціального рівняння. Маємо $$ u'v + u (v '+ 2xv) = xe ^ $$

Тепер якимось чином потрібно знайти невідомі функції u і v. Щоб їх знайти доведеться скласти систему рівнянь $$ \ binom> $$

Зауважте, що значення першого рівняння ми взяли рівним нулю, щоб з нього отримати v, а потім знаючи v з другого отримати u. Приступаємо вирішувати її:

Знаючи тепер чому дорівнює v візьмемо і підставимо його в друге рівняння системи. Далі знайдемо u

Отже, підіб'ємо підсумок:

Так як y = uv, то відповідь $$ y = (\ frac + C) \ cdot e ^ $$

Вирішити диференціальне рівняння першого порядку методом Бернуллі $$ y'-y = e ^ x $$

Як завжди не замислюючись ні на секунду виконуємо заміну $$ y = uv, y '= u'v + uv' $$

Підставляємо її у вихідне диференціальне рівняння

Не забуваємо винести u за дужки, щоб не порушити алгоритм рішення

Тепер необхідно визначити функції u і v з отриманого рівняння шляхом складання системи

Запускаємо обчислювальну машину для розв'язання двох рівнянь

1) Знайдемо v з v'-v = 0

2) Підставимо знайдене v в друге зрівняні і нарешті таки знайдемо u.

Отже ми отримали u і v. Тепер достатньо записати відповідь, що $$ y = (x + C) e ^ x $$