Матеріал по темі наближені числа і дії над ними, скачати безкоштовно, соціальна мережа
Величина е х. звана абсолютною похибкою наближеного значення х. в більшості випадків залишається невідомою, так як для її обчислення потрібно точне значення X. Разом з тим, на практиці зазвичай вдається встановити верхню межу абсолютної похибки, тобто таке (по можливості найменше) число для якого справедливо нерівність
Відносну похибку висловлюють зазвичай у відсотках.
Приклад Визначимо граничні похибки числа х = 3,14 як наближеного значення π. Так як π = 3,1415926 .... то | π-3,14 |
- Обчислення похибок арифметичних дій
1. Додавання і віднімання. Граничною абсолютною похибкою алгебраїчної суми є сума відповідних похибок доданків:
Ф.1 (X + Y) = Х + Y. (X-Y) = Х + Y.
Приклад. Дано наближені числа Х = 34,38 і Y = 15,23. всі цифри вірні в строгому сенсі. Знайти (X-Y) і (X-Y). За формулою Ф.1 отримуємо:
(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.
Відносну похибку отримаємо за формулою зв'язку:
2. Множення і ділення. Якщо Х
- Методи оцінки похибки наближених обчислень
Існують суворі і несуворі методи оцінки точності результатів обчислень.
1. Строгий метод підсумкової оцінки. Якщо наближені обчислення виконуються за порівняно простої формули, то за допомогою формул Ф.1-Ф.5 і формул зв'язку похибок можна вивести формулу підсумкової похибки обчислень. Висновок формули і оцінка похибки обчислень з її допомогою складають суть даного методу.
Приклад Значення a = 23,1 і b = 5,24 дані цифрами, вірними в строгому сенсі. Обчислити значення виразу
За допомогою МК отримуємо В = 0,2921247. Використовуючи формули відносних похибок приватного і твори, запишемо:
Користуючись МК, отримаємо 5, що дає. Це означає, що в результаті дві цифри після коми вірні в строгому сенсі: В = 0,29 ± 0,001.
2. Метод суворого пооперационного обліку похибок. Іноді спроба застосування методу підсумкової оцінки призводить до занадто громіздкою формулою. У цьому випадку більш доцільним може виявитися застосування даного методу. Він полягає в тому, що оцінюється точність кожної операції обчислень окремо за допомогою тих же формул Ф.1-Ф.5 і формул зв'язку.
3. Метод підрахунку вірних цифр. Даний метод відноситься до нестрогим. Оцінка точності обчислень, яку він дає, в принципі не гарантована (на відміну від строгих методів), але на практиці є досить надійною. Суть методу полягає в тому, що після кожної операції обчислень в отриманому числі визначається кількість вірних цифр за допомогою нижченаведені правил.
П.1. При додаванні і відніманні наближених чисел в результаті вірними слід вважати, ті цифри, десятковим розрядам яких відповідають вірні цифри у всіх доданків. Цифри всіх інших розрядів крім найстаршого з них перед виконанням додавання або віднімання повинні бути округлені у всіх доданків.
П.2. При множенні і діленні наближених чисел в результаті вірними слід вважати стільки значущих цифр, скільки їх має наближене дане з найменшою кількістю вірних значущих цифр. Перед виконанням цих дій серед наближених даних потрібно вибрати число з найменшою кількістю значущих цифр і округлити інші числа так, щоб вони мали лише на одну значущу цифру більше нього.
П.З. При зведенні в квадрат або в куб, а також при вилученні квадратного або кубічного кореня в результаті слід вважати вірними стільки значущих цифр, скільки було вірних значущих цифр у вихідному числі.
П.4. Кількість вірних цифр в результаті обчислення функції залежить від величини модуля похідної і від кількості вірних цифр в аргументі. Якщо модуль похідної близький до числа 10k (k - ціле), то в результаті кількість вірних цифр щодо коми на k менше (якщо k негативно, то - більше), ніж їх було в аргументі. У даній лабораторній роботі для визначеності приймемо угоду вважати модуль, похідною близьким до 10k. якщо має місце нерівність: