Локальні і глобальні екстремуми - студопедія

Тема 1. Функції декількох змінних і завдання оптимізації

Локальні і глобальні екстремуми

В задачах математичного програмування зазвичай розшукується екстремум (максимум чи мінімум) цільової функції при деяких обмеженнях на значення її змінних, які записуються у вигляді системи рівнянь і нерівностей.

Точка називається локальним мінімумом. якщо існує число таке, що для будь-якої точки x з як завгодно малій околиці точки:

Аналогічно визначається локальний максимум функції в точці.

У чому відмінність локального мінімуму від глобального. Глобальний мінімум - це точка x *. в якій цільова функція приймає значення не бiльше, ніж в будь-який допустимої точці. Локальний мінімум - це точка x *. в якій цільова функція приймає значення не бiльше, ніж в будь-який досить "близькою" до x * допустимої точці.

Завжди можна легко перейти від завдання на максимум до задачі на мінімум, і навпаки.

При цьому рішення цих двох завдань досягаються в одній і тій же точці, а значення цільових функцій протилежні (див. Рис.)

Рис.1. Перехід від завдання на максимум до задачі на мінімум

У деяких випадках існування рішення ЗМП гарантує наступна теорема:

Теорема Вейєрштрасса (TW). Якщо допустиме безліч X замкнуто, обмежена і непусто, а цільова функція F (x) неперервна на Х, то вона досягає і найбільшого і найменшого значення на цій множині.

Зверніть увагу на те, що невиконання умов TW залишає питання про існування рішення ЗМП відкритим.

ПРИКЛАД 1. Проілюструємо застосування TW до наступних завдань:

► а) ​​Допустиме безліч завдання відкрито і необмежена, що унеможливлює застосування TW. Проте цільова функція розглянутої ЗМП має глобальний мінімум в точці.

b) Функція неперервна на обмеженому, замкнутому безлічі. Це означає, що в силу TW на розглянутому проміжку цільова функція завдання досягає свого найбільшого і найменшого значення.

c) Допустиме безліч завдання замкнуто і обмежена, проте цільова функція терпить розрив на даному проміжку в точці. і TW в даному випадку не застосовується. Цільова функція даної ЗМП не має глобального мінімуму і максимуму. ◄